数学Ⅱ・微分積分

定積分・基本計算

【高校数学の目次】《数学Ⅰ・Ａ》
• 数と式　 • 根号計算　• 場合の数.順列.組合せ　• 確率　 • ２次関数　• ２次不等式　 • 集合・命題・条件・証明　• 正弦定理,余弦定理
《数学Ⅱ・Ｂ》
• 指数関数.対数関数　 • 微分・積分　

《高校数学Ⅱ / 微分･積分の目次》　　　が現在地 • 平均変化率　 • 極限値，不定形の極限　 • 導関数の定義　 • 接線の方程式　 • 導関数の符号の求め方　 • 3次関数のグラフ（微分以前）　 • (問題)平均変化率，関数の極限，極限値から定数を求める問題　 • (問題)微分係数，導関数の定義　 • (問題)導関数の公式　 • (問題)増減と極値　 • (問題)最大最小,グラフと係数の符号,実数解の個数　 • センター試験.数Ⅱ微積(2013～)　 • 不定積分（数学II.多項式）　 • 不定積分2（展開）　 • 変数 t, y, r　 • 積分定数の決定　 • 定積分　 • 定積分の基本計算　 • 面積の求め方　 • 定積分と面積(1) 　 • 発展学習:定積分と面積(2) 　 • 曲線で囲まれた図形の面積　 • 絶対値付きの定積分(1)　 • 絶対値付きの定積分(2)（数学Ⅱ，入試問題）　 • 立体の体積　 • 定積分で定義される関数　

♪♥ この教材は，高校数学の基本問題のうち，定積分の基本計算のマイナーチェンジありのカバー版です．
♫♣ 元の教材が通信トラブルなどで読めないときに，こちらを使ってください．なお，学習の記録は付いていません．

== 定積分：基本計算 == ○　定積分の計算をするときは，原始関数(不定積分から定数Cを取り除いたものを使えばよい)に上端，下端の値を代入して差を取ります。数IIでは多項式だけを扱い，不定積分には次の公式を使います。

【 $x^n$ の不定積分】
ｎが正の整数（1, 2, 3, …）のとき
$\int x^ndx=\frac{1}{n+ 1}x^{n+ 1}+ C$ …(1)
ただし
$\int dx=x+ C$ …(2)
一般に定数項の積分は
$\int k\hspace{2}dx=kx+ C$ …(3)

（注）
$\int dx$ は $\int 1\hspace{2}dx$ の省略と決まっており，
$\int 0\hspace{2}dx=0x+ C=C$ などと間違ってはいけない．

(1)の不定積分を利用する定積分の計算の例
$\underset{^{0\hspace{3}}}{\int^1}xdx=\Big[\frac{x^2}{2}\Big]_0^1=\frac{1}{2}-0=\frac{1}{2}$
$\underset{_{1\hspace{3}}}{\int^2}x^2dx=\Big[\frac{x^3}{3}\Big]_1^2=\frac{8}{3}-\frac{1}{3}=\frac{7}{3}$
(2)の不定積分を利用する定積分の計算の例
$\underset{^3}{\int^5}dx=\Big[x\Big]_3^5=5-3=2$
(3)の不定積分を利用する定積分の計算の例
$\underset{^2}{\int^4}3\hspace{2}dx=\Big[3x\Big]_2^4=12-6=6$

【問題１】　次の定積分を求めてください．（選択肢の中から正しいものを１つクリック）

(1)
$\underset{^1}{\int^3}x^2dx$

解説やり直す

$\frac{8}{3}$ $\frac{26}{3}$ $8$ $26$

$_1$ $\int^3 x^2dx=\big[\frac{x^3}{3}\big]_1^3=\frac{27}{3}-\frac{1}{3}=\frac{26}{3}$ …（答）

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(2)
$\underset{^0}{\int^2}4x^3dx$

解説やり直す

$4$ $8$ $12$ $16$

$_0$ $\int^2 4x^3dx=\big[x^4\big]_0^2=16-0=16$ …（答）

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(3)
$\underset{^{-1}}{\int^2}dx$

解説やり直す

$0$ $1$ $2$ $3$

$\int dx$ は $\int 1\hspace{2}dx$ の省略記号です．
$_{-1}$ $\int^2 dx=\big[x\big]_{-1}^2=2-(-1)=3$ …（答）

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(4)
$\underset{^3}{\int^5}2xdx$

解説やり直す

$4$ $9$ $16$ $25$

$_{3}$ $\int^5 2xdx=\big[x^2\big]_{3}^5=25-9=16$ …（答）

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【積分変数がx以外の場合】
〇 $\int f(x)dx$ の $x$ を積分変数といいます．

○不定積分では関数が残るので，計算の結果は積分変数に依存しますが，定積分では原始関数に上端・下端の値を代入するので積分変数は計算結果に残りません。

○このように定積分では，積分変数を入れ替えても結果は変わらず，関数形と積分区間の上端・下端の値だけが重要です。

○積分変数が $x$ 以外の文字であっても，同じように計算できます．「被積分関数 $f(x)$ と積分変数 $x$ が同じ変数で書かれていること」だけが重要です．

【不定積分】
$\int 2xdx=x^2+ C$ ←別→ $\int 2tdt=t^2+ C$

【定積分】

$\overset{\nwarrow}{\swarrow}$ 同じ

$\underset{^1}{\int^2}2xdx=\big[x^2\big]_{1}^2=4-1=3$
$\underset{^1}{\int^2}2tdt=\big[t^2\big]_{1}^2=4-1=3$

【問題２】　次の定積分を求めてください．（選択肢の中から正しいものを１つクリック）

(1)
$\underset{^1}{\int^2}(3t^2+ 2t)dt$

解説やり直す

$6$ $8$ $10$ $12$

$\underset{^1}{\int^2}(3t^2+ 2t)dt=\big[t^3+ t^2\big]_1^2=(8+ 4)-(1+ 1)=10$ …（答）

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(2)
$\underset{^2\hspace{5}}{\int^{-1}}(u^3+ 1)du$

解説やり直す

$\frac{27}{4}$ $-\frac{27}{4}$ $\frac{29}{4}$ $-\frac{29}{4}$

※定積分の上端が下端よりも小さいことは，全く問題ありません．そのまま計算すればよい．
一般には，次の関係が成り立ち，（下端）＜（上端），（下端）＞（上端）のいずれもあり得ます．
$\underset{^b}{\int^a}f(x)dx=$ $-\underset{^a}{\int^b}f(x)dx$
$\underset{^2}{\int^{-1}}(u^3+ 1)du=\big[\frac{u^4}{4}+ u\big]_2^{-1}$
$=(\frac{1}{4}-1)-(4+ 2)=-\frac{27}{4}$ …（答）

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(3)
$\underset{^0}{\int^{1}}(y-1)dy$

解説やり直す

$-\frac{1}{2}$ $\frac{1}{2}$ $-\frac{1}{4}$ $\frac{1}{4}$

※ $y$ が $x$ の関数 $y=f(x)$ になっているときに，よく見慣れている積分
$\underset{^a}{\int^{b}}ydx$
は
$\underset{^a}{\int^{b}}f(x)dx$
と同じもので，積分変数は $x$ ですが，この問題は積分変数がが $y$ なので，事情が異なります．

$\underset{^0}{\int^{1}}(y-1)dy=\big[\frac{y^2}{2}-y\big]_0^{1}$
$=(\frac{1}{2}-1)-(0)=-\frac{1}{2}$ …（答）

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(4)
$\underset{^2}{\int^{4}}dp$

解説やり直す

$0$ $2$ $4$ $6$

$_2$ $\int^{4}dp=\big[p\big]_2^{4}=4-2=2$ …（答）

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【被積分関数が積の形になっているとき】
○ $\int dx$ の内部 (被積分関数という) が積の形になって
いるときは，展開してから不定積分を求め，定積分を行います．
※別々に積分したものを後から掛けても，正しい結果になりません．

【要点】多項式は，展開してから積分する．
≪例1≫
$\underset{^0}{\int^{1}}(x+ 1)(x-1)dx=$ $\underset{^0}{\int^{1}}(x^2-1)dx$

≪例2≫
$\underset{^0}{\int^{1}}(x+ 1)^2dx=$ $\underset{_0}{\int^{1}}(x^2+ 2x+ 1)dx$

≪参考≫　数学Ⅱでは，「多項式は展開してから積分する」というのが基本ですが，発展学習として次の公式まで含める場合があります．（不定積分に関して）
　この公式は，数学Ⅱ+数学Bの範囲では，数学的帰納法で証明できますが，数学Ⅲでは合成関数の微分法もしくは置換積分の内容となっています．
$\int(ax+ b)^ndx=\frac{1}{(n+ 1)\hspace{2}a}(ax+ b)^{n+ 1}+ C$
$\int(2x+ 3)^4dx=\frac{1}{5\times 2}(2x+ 3)^{5}+ C$

【問題３】　次の定積分を求めてください．（選択肢の中から正しいものを１つクリック）

(1)
$\underset{^0}{\int^1}(x+ 1)^2dx$

解説やり直す

$\frac{1}{3}$ $\frac{2}{3}$ $\frac{5}{3}$ $\frac{7}{3}$

$\underset{^0}{\int^1}(x+ 1)^2dx=$ $\underset{^0}{\int^1}(x^2+ 2x+ 1)dx$
$=\Big[\frac{x^3}{3}+ x^2+ 1\Big]_{0}^1=(\frac{1}{3}+ 1+ 1)-(0)=\frac{7}{3}$

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(2)
$\underset{^{-3}}{\int^0}x(x+ 2)dx$

解説やり直す

$-2$ $-1$ $0$ $2$

$\underset{^{-3}}{\int^0}x(x+ 2)dx=$ $\underset{^{-3}}{\int^0}(x^2+ 2x)dx$
$=\Big[\frac{x^3}{3}+ x^2\Big]_{-3}^0=(0)-(-9+ 9)=0$ …（答）

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(3)
$\underset{^{-1}}{\int^1}(t+ 1)(t+ 2)dt$

解説やり直す

$\frac{5}{3}$ $\frac{7}{3}$ $\frac{11}{3}$ $\frac{14}{3}$

$\underset{^{-1}}{\int^1}(t+ 1)(t+ 2)dt=$ $\underset{^{-1}}{\int^1}(t^2+ 3t+ 2)dt$
$=\Big[\frac{t^3}{3}+\frac{3}{2}t^2+ 2t\Big]_{-1}^1=(\frac{1}{3}+\frac{3}{2}+ 2)-(-\frac{1}{3}+\frac{3}{2}-2)=\frac{14}{3}$ …（答）

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(4)
$\underset{^{-2}}{\int^1}(2y+ 1)^2dy$

解説やり直す

$11$ $9$ $7$ $5$

$\underset{^{-2}}{\int^1}(2y+ 1)^2dy=$ $\underset{^{-2}}{\int^1}(4y^2+ 4y+ 1)dy$
$=\Big[\frac{4}{3}y^3+2y^2+ y\Big]_{-2}^1=(\frac{4}{3}+ 2+ 1)-(-\frac{32}{3}+ 8-2)=9$ …（答）

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