数学Ⅱ・微分積分

不定積分

【高校数学の目次】《数学Ⅰ・Ａ》
• 数と式　 • 根号計算　• 場合の数.順列.組合せ　• 確率　 • ２次関数　• ２次不等式　 • 集合・命題・条件・証明　• 正弦定理,余弦定理
《数学Ⅱ・Ｂ》
• 指数関数.対数関数　 • 微分・積分　

《高校数学Ⅱ / 微分･積分の目次》　　　が現在地 • 平均変化率　 • 極限値，不定形の極限　 • 導関数の定義　 • 接線の方程式　 • 導関数の符号の求め方　 • 3次関数のグラフ（微分以前）　 • (問題)平均変化率，関数の極限，極限値から定数を求める問題　 • (問題)微分係数，導関数の定義　 • (問題)導関数の公式　 • (問題)増減と極値　 • (問題)最大最小,グラフと係数の符号,実数解の個数　 • センター試験.数Ⅱ微積(2013～)　 • 不定積分（数学II.多項式）　 • 不定積分2（展開）　 • 変数 t, y, r　 • 積分定数の決定　 • 定積分　 • 定積分の基本計算　 • 面積の求め方　 • 定積分と面積(1) 　 • 発展学習:定積分と面積(2) 　 • 曲線で囲まれた図形の面積　 • 絶対値付きの定積分(1)　 • 絶対値付きの定積分(2)（数学Ⅱ，入試問題）　 • 立体の体積　 • 定積分で定義される関数　

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== 積分定数の決定 ==

○導関数F'(x)が与えられた場合，元の関数F(x)はそれを積分すれば求められますが，その場合，不定積分として積分定数Cが決まらない形になります．
○１つのxに対するF(x)の値

x=aのときy=bという形の式
すなわち，F(a)=bという式
すなわち，１つの通る点(a, b)

が与えられていれば，この積分定数Cは決まります．

○このF(a)=bの形の条件式を「初期条件」といいます．（「初期」という言葉にはこだわる必要はなく，特にx=0のときの値だけでなく，他のxの値に対する場合，例えばF(3)=5のような場合でも，初期条件と呼ばれ，関数は確定します．）

【要点】
　一般に，導関数F'(x)だけが与えられたとき，元の関数F(x)の定数項Cは決まらない．
　導関数F'(x)と初期条件F(a)=bが与えられると，定数項Cが決まり，関数F(x)が確定する

○［次の条件を満たす関数F(x)は確定できます］
$F\apos (x)=2x+ 1,$ $F(0)=1$ …(1)
×［次の条件を満たす関数F(x)は確定できません］
$F\apos (x)=2x+ 1,$ $F\apos (0)=1$ …(2)
(1)では， $F(x)=x^2 + x + C$ と初期条件 $F(0)=1$ からCが求められますが
(2)では $F(x)=x^2 + x + C$ に対して， $F\apos (0)=1$ は初期条件になっておらず，Cを求める手掛かりがありません．（F'(x)の式ばかりだと，１つもCが含まれていないので，Cを決めることができません）

《例題》
F'(x)＝2x, F(1)=3のとき，F(x)を求めなさい.

（答案）
F'(x)＝2xだから $F(x)=\int 2xdx=x^2 + C$
次に，F(1)=3だから1+C=3
C=2
ゆえに， $F(x)=x^2 + 2$ ・・・(答)

《要点》
まず不定積分を求め，次にＣを定めます.

【問題1】
　次の条件を満たす関数を求めてください．

(1)

F'(x)=2x−1
F(3)=1

解答を見る

$F^{\tiny{\prime}}(x)=2x-1$ より
$F(x)=\int (2x-1) dx=x^2-x + C$
次に $F(3)=1$ より $6 + C=1$
$C=-5$
結局 $F(x)=x^2-x-5$ ･･･（答） →解答を隠す←

(2)

F'(x)=2x−1
F(1)=3

解答を見る

$F\apos (x)=2x-1$ より
$F(x)=\int (2x-1) dx=x^2-x + C$
次に $F(1)=3$ より $C=3$
結局 $F(x)=x^2-x + 3$ ･･･（答） →解答を隠す←

(3)

F'(x)=3x2−2x
F(1)=−1

解答を見る

$F^{\tiny{\prime}}(x)=3x^2-2x$ より
$F(x)=\int (3x^2-2x) dx=x^3-x^2 + C$
次に $F(1)=-1$ より $C=-1$
結局 $F(x)=x^3-x^2-1$ ･･･（答） →解答を隠す←

(4)

F'(x)=3x2−2x
F(−1)=1

解答を見る

$F\apos (x)=3x^2-2x$ より
$F(x)=\int (3x^2-2x) dx=x^3-x^2 + C$
次に $F(-1)=1$ より $-2+ C=1$
$C=3$
結局 $F(x)=x^3-x^2 + 3$ ･･･（答） →解答を隠す←

(5)

F'(x)=1
F(5)=0

解答を見る

$F^{\tiny{\prime}}(x)=1$ より
$F(x)=\int dx=x + C$
次に $F(5)=0$ より $5+ C=0$
$C=-5$
結局 $F(x)=x-5$ ･･･（答） →解答を隠す←

(6)

F'(x)=1
F(0)=5

解答を見る

$F^{\tiny{\prime}}(x)=1$ より
$F(x)=\int dx=x + C$
次に $F(0)=5$ より $C=5$
結局 $F(x)=x+ 5$ ･･･（答） →解答を隠す←

(7)

F'(x)=x2+2x
F(3)=0

解答を見る

$F^{\tiny{\prime}}(x)=x^2+ 2x$ より
$F(x)=\int(x^2+ 2x)dx=\frac{x^3}{3}+ x^2 + C$
次に $F(3)=0$ より $18+ C=0$
$C=-18$
結局 $F(x)=\frac{x^3}{3}+ x^2-18$ ･･･（答） →解答を隠す←

(8)

F'(x)=x2+2x
F(0)=3

解答を見る

$F^{\tiny{\prime}}(x)=x^2+ 2x$ より
$F(x)=\int(x^2+ 2x)dx=\frac{x^3}{3}+ x^2 + C$
次に $F(0)=3$ より $C=3$
結局 $F(x)=\frac{x^3}{3}+ x^2+ 3$ ･･･（答） →解答を隠す←

== 積分定数の決定 ==

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