数学Ⅱ・微分積分

面積の求め方

【高校数学の目次】《数学Ⅰ・Ａ》
• 数と式　 • 根号計算　• 場合の数.順列.組合せ　• 確率　 • ２次関数　• ２次不等式　 • 集合・命題・条件・証明　• 正弦定理,余弦定理
《数学Ⅱ・Ｂ》
• 指数関数.対数関数　 • 微分・積分　

《高校数学Ⅱ / 微分･積分の目次》　　　が現在地 • 平均変化率　 • 極限値，不定形の極限　 • 導関数の定義　 • 接線の方程式　 • 導関数の符号の求め方　 • 3次関数のグラフ（微分以前）　 • (問題)平均変化率，関数の極限，極限値から定数を求める問題　 • (問題)微分係数，導関数の定義　 • (問題)導関数の公式　 • (問題)増減と極値　 • (問題)最大最小,グラフと係数の符号,実数解の個数　 • センター試験.数Ⅱ微積(2013～)　 • 不定積分（数学II.多項式）　 • 不定積分2（展開）　 • 変数 t, y, r　 • 積分定数の決定　 • 定積分　 • 定積分の基本計算　 • 面積の求め方　 • 絶対値付きの定積分(1)　 • 絶対値付きの定積分(2)（数学Ⅱ，入試問題）　 • 曲線で囲まれた図形の面積　 • 立体の体積　 • 定積分で定義される関数　

♪♥ この教材は，高校数学の基本問題のうち，面積の求め方の「マイナーチェンジありカバー版」「広告なし」「パソコン用」ページです．
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■面積解説 (ア)　y=f(x)のグラフがｘ軸よりも上にあるとき (f(x)≧0のとき)定積分は面積を表わします。	(イ)　y=f(x)のグラフがｘ軸よりも下にあるとき (f(x)≦0のとき)y=-f(x)のグラフを作ると，このグラフはｘ軸よりも上にあるので，符号を変えた定積分は面積を表わします。
(ウ)　f(x)≧g(x)≧0のとき，次のように２つの面積の差が２曲線の間にある図形の面積になります。（切り紙のイメージで考えます。）	(エ)　f(x)≧g(x)であれば，形・面積が変わらないように持ち上げるとg(x)≧0となり２つの面積の差が２曲線の間にある図形の面積になります。→(ウ)になります。

◆◆まとめ◆◆・・・以上の(ア)～(エ)は(エ)でまとめることができます。
○　面積は　∫{ (上)　-　(下)　}dx　　・・・　ｘ軸より下にあってもこれでよい。
「キュウリもみ」を作ったことがありますか？「(上)-(下)という長さ」のキュウリの断片をｘ軸上に集めているのと同じことです。
初めの公式の見直し：(ア)　上がy=f(x)，下がy=0と見ます。	初めの公式の見直し：(イ)　上がy=0，下がy=f(x)と見ます。

■例題 (1)　y=x²，ｘ軸，x=1，x=2の直線で囲まれる図形の面積	(2)　y=x²-xの曲線とｘ軸とで囲まれる図形の面積
(3)　y=-x²+4x と　y=x とで囲まれる図形の面積	(4)　y=4(x³-x) と　x軸とで囲まれる図形の面積 ※上下が変わるときは，区間を分けて計算します。

【問題1】
　次の図形の面積を求めてください．

(1)
y=x2，x軸，x=0, x=3の直線で囲まれる図形の面積

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　右図のように，区間0<x<3において，関数y=x2のグラフはx軸よりも上にあるから
$S=\underset{0}{\int^3}x^2dx=\big[\frac{x^3}{3}\big]_0^3=9$
→解答を隠す←

(2)
y=x3−9x，x軸で囲まれる図形の面積

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　右図のように，区間−3<x<0において，関数y=x3−9xのグラフはx軸よりも上にあり，区間0<x<3において，関数y=x3−9xのグラフはx軸よりも下にあるから
$S=\underset{-3}{\int^0}(x^3-9x)dx+\underset{0}{\int^3}(-x^3+ 9x)dx$
$=\big[\frac{x^4}{4}-\frac{9x^2}{2}\big]_{-3}^0+\big[-\frac{x^4}{4}+\frac{9x^2}{2}\big]_{0}^3$
$=-\big(\frac{81}{4}-\frac{81}{2}\big)+\big(-\frac{81}{4}+\frac{81}{2}\big)=\frac{81}{2}$
→解答を隠す←

(3)
y=x2のグラフとy=9の直線で囲まれる図形の面積

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　右図のように，区間−3<<3において，関数y=x2のグラフはy=9の直線よりも下にあるから
$S=\underset{-3}{\int^3}(9-x^2)dx$
$=\big[9x-\frac{x^3}{3}\big]_{-3}^3$
$=\big(27-9\big)-\big(-27+ 9\big)=36$

※この問題のように，「２曲線y=x2とy=9の交点間の面積」となっている図では，発展学習に出るいわゆる「6分の１公式も使える」
$\underset{\alpha}{\int^{\beta}}a(x-\alpha)(x-\beta)dx=-\frac{a}{6}(\beta-\alpha)^3$
において， $f(x)=9-x^2,\hspace{3}\alpha=-3,\hspace{3}\beta=3$ とおくと
$-\underset{-3}{\int^{3}}(x+ 3)(x-3)dx=\frac{1}{6}\times 6^3=36$

→解答を隠す←

(4)
y=x2−2x，x軸，x=3の直線で囲まれる図形の面積

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　右図のように，区間0<x<2において，関数y=x2−2xのグラフはx軸よりも下にあり，区間2<x<3において，関数y=x2−2xのグラフはx軸よりも上にあるから
$S=\underset{0}{\int^2}(-x^2+ 2x)dx+\underset{2}{\int^3}(x^2-2x)dx$
$=\big[-\frac{x^3}{3}+ x^2\big]_{0}^2+\big[\frac{x^3}{3}-x^2\big]_{2}^3$
$=\big(-\frac{8}{3}+ 4\big)+\{\big(9-9\big)-\big(\frac{8}{3}-4\big)\}=\frac{8}{3}$
※この問題のように，「２曲線の交点間」となっていない図では，いわゆる「6分の１公式は使えない」ので注意 →解答を隠す←

(5)
y=x2−2x+3のグラフとy=x+3の直線で囲まれる図形の面積

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　右図のように，区間0<<3において，関数y=x2−2x+3のグラフはy=x+3の直線よりも下にあるから
$S=\underset{0}{\int^3}\{(x+ 3)-(x^2-2x+ 3)\}dx$
$=\underset{0}{\int^3}(-x^2+ 3x)dx=\big[-\frac{x^3}{3}+\frac{3x^2}{2}\big]_0^3$
$=-9+\frac{27}{2}=\frac{9}{2}$

※この問題のように，「２曲線y=x2−2x+3とy=x+3の交点間の面積」となっている図では，発展学習に出るいわゆる「6分の１公式も使える」
$\underset{\alpha}{\int^{\beta}}a(x-\alpha)(x-\beta)dx=-\frac{a}{6}(\beta-\alpha)^3$
において， $f(x)=-x^2+ 3x,\hspace{3}\alpha=0,\hspace{3}\beta=3$ とおくと
$-\underset{0}{\int^{3}}x(x-3)dx=\frac{1}{6}\times 3^3=\frac{27}{6}=\frac{9}{2}$

→解答を隠す←

(6)
kを定数とするとき，y=x2のグラフと
直線y=2kx−(k2+k)の直線で囲まれる図形の面積

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桃色の縦棒のどこかをクリックすると，対応するグラフが表示されます

kの現在値

$x^2=(2k+ 1)x-k(k+ 1)$
$x^2-(2k+ 1)x+ k(k+ 1)=0$
$(x-k)(x-k-1)=0$
の解は
$x=k,\hspace{2}k+1$
　上図のように，区間k<x<k+1において，関数y=x2のグラフは直線y=(2k+1)x−k(k+1)よりも下にあるから
$S=-\underset{k}{\int^{k+ 1}}(x-k)(x-k-1)dx=\frac{1}{6}(k+ 1-k)^3=\frac{1}{6}$

※kの値に依らずに一定値をとる →解答を隠す←

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