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• 数と式 • 根号計算 • 場合の数.順列.組合せ • 確率 • ２次関数 • ２次不等式 • 集合・命題・条件・証明 • 正弦定理,余弦定理 《数学Ⅱ・Ｂ》 • 指数関数.対数関数 • 微分・積分 |
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◇解説◇ 【平均変化率とは】
中学校の数学で，「変化の割合」と呼ばれるものを高校では「平均変化率」といいます。
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| 【例】 (1) 関数 y = x2 において， x の値が 1 から 2 まで変化するときの平均変化率は = 3 (2) 関数 f(x) = x2 において， x の値が 1.0 から 1.1 まで変化するときの平均変化率は = = 2.1 |
(3) 関数 y = 2x2 において， x の値が 1 から a まで変化するときの平均変化率は = = 2(a+1) (4) 関数 f(x) = 2x2 において， x の値が 1 から 1+h まで変化するときの平均変化率は = = 4+2h |
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| ■問題1 次の平均変化率を求めなさい。
• 数字は「半角数字」で，アルファベットは「半角英小文字」で入力してください．
• 分からないときは，  というボタンを押せば，途中経過が示されます．• 採点は，全部まとめて下端の「採点」ボタンで行い，結果は次の図で示されます．正答：  ，誤答：
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◇解説◇
| ◇微分係数◇ 平均変化率の計算において， x の増分Δx を限りなく 0 に近づけるとき，Δx も Δy も 0 に近づきますが，その比はなくなりません。 右の図において， は分母も分子も 0 に近づき， いわゆる不定形の極限になりますが，極限値はあります。 この極限値が，微分係数です。（右の図で点Aにおける接線の傾きに対応しています。） ◇微分係数の定義◇ 関数 y = f(x) の x = a における微分係数を f’(a) で表わし，次の式で定義します。 ◎ f’(a) = ···これが使いやすい。 ○ f’(a) = ···この書き方もある。 ○ f’(a) = ···この書き方もある。 微分係数の定義には，上の３つの式が使われますが，数IIでは◎が使いやすいでしょう。２つ目の式は，Δx2 などの記号を間違って使うおそれがあります。３つ目の式は，計算が複雑になります。 |
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(例1) f(x) = x2 のとき，f’(3) を求めなさい。 (答案A) f’(3) = = = = (6+h) = 6 (答案B) f’(3) = = = = (6+Δx) = 6 注 上の(Δx)2 の代わりに Δx2 と書くとダメです。数学では，Δx2 は別の意味になります。 (答案C) f’(3) = = = = (x+3) = 6 |
(例2) f(x) = x2−x のとき，f’(a) を求めなさい。 (答案A) f’(a) = = = = = (2a−1+h) = 2a−1 (答案B) (答案C) ··· 略 (話題) １ 数学の教材では，「それ以前に習った内容」は全部前提になります。(例１)の(答案A)の説明で ··· f(x) の f はどこへ行った？ ··· という質問が意外に多い。（昔習ったことなので覚えていないらしい。） 次の式を見て，思い出してください。 f(x) = x2 のとき， f(3) = 32 f(3+h) = (3+h)2 ２ 数IIで登場する微分係数は，導関数の導入的な働きをしていて，後で習う導関数(微分)に x の値を代入すれば簡単に得られます。 |
■問題2 次の微分係数を求めなさい。
| ◇解説◇（発展問題） | |
| 例１ 次の式を f’(a) で表わしなさい。  |
(考え方) 微分係数の定義 f’(a) = が利用できるように変形します。特に， = f’(a)が成り立つことに注意して， = f’(a)を作ります。 −−−−−−−−− = · = ×2 = 2f’(a) |
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例２ 次の式を f(a),f’(a),g(a),g’(a) を用いて表わしなさい。  |
= = = { ( )g(a)−f(a) ( ) } = f’(a)g(a)−f(a)g’(a) |
■問題3 次の式をf(a), f '(a) を用いて表わしなさい。
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