数学Ⅱ・微分積分

不定積分

【高校数学の目次】《数学Ⅰ・Ａ》
• 数と式　 • 根号計算　• 場合の数.順列.組合せ　• 確率　 • ２次関数　• ２次不等式　 • 集合・命題・条件・証明　• 正弦定理,余弦定理
《数学Ⅱ・Ｂ》
• 指数関数.対数関数　 • 微分・積分　

《高校数学Ⅱ / 微分･積分の目次》　　　が現在地 • 平均変化率　 • 極限値，不定形の極限　 • 導関数の定義　 • 接線の方程式　 • 導関数の符号の求め方　 • 3次関数のグラフ（微分以前）　 • (問題)平均変化率，関数の極限，極限値から定数を求める問題　 • (問題)微分係数，導関数の定義　 • (問題)導関数の公式　 • (問題)増減と極値　 • (問題)最大最小,グラフと係数の符号,実数解の個数　 • センター試験.数Ⅱ微積(2013～)　 • 不定積分（数学II.多項式）　 • 不定積分2（展開）　 • 変数 t, y, r　 • 積分定数の決定　 • 定積分　 • 定積分の基本計算　 • 面積の求め方　 • 定積分と面積(1) 　 • 発展学習:定積分と面積(2) 　 • 曲線で囲まれた図形の面積　 • 絶対値付きの定積分(1)　 • 絶対値付きの定積分(2)（数学Ⅱ，入試問題）　 • 立体の体積　 • 定積分で定義される関数　

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== 不定積分(変数t,y,r) ==
○積分計算では，右端のdの後にある変数だけが積分記号の中で変数として働き，それ以外の文字は定数とみなされます．
【例】
$\int x^2 dx=\frac{x^3}{3}+ C$

これに対して次の積分記号の内部ではkは定数として扱われるから
$\int kx^2 dx=k\frac{x^3}{3}+ C$

【例】
$\int x^2 dx=\frac{x^3}{3}+ C$

これに対して次の積分記号の内部ではyが変数だから
$\int y^2 dy=\frac{y^3}{3}+ C$
同様にして次の積分記号の内部ではtが変数だから
$\int t^2 dt=\frac{t^3}{3}+ C$

よく出会う次の公式は，yがxの関数のときの話です．
$y=f(x)$ のとき $S=\int y dx=\int f(x) dx$

もし，yがxの関数でなければ，次のようになります．
$\int y dx=xy + C$
同様にして
$\int xy dy=\frac{1}{2}xy^2+ C$
同様にして
$\int xy dt=xyt+ C$

次の積分記号の内部ではxだけが変数だから
$\int (x+ y) dx=\frac{1}{2}x^2 + xy + C$

次の積分記号の内部ではyが変数だから
$\int (x + y) dy=xy + \frac{1}{2}y^2+ C$
同様にして
$\int (x + y) dt=(x + y)t+ C$

【問題1】
　次の不定積分を求めてください．なお，積分定数はCで表すものとします．

(1)
　 $\int (x+ t)dt$

解答を見る

$\int (x+ t) dt=xt+ \frac{t^2}{2}+ C$ ･･･（答） →解答を隠す←

(2)
　 $\int 2\pi rdr$

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$\int 2\pi r dr=\pi r^2 + C$ ･･･（答） →解答を隠す←

(3)
　 $\int(t+ 1)(t^2-t+ 1)dt$

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$\int(t+ 1)(t^2-t+ 1)dt=\int(t^3+ 1)dt=\frac{t^4}{4}-t+ C$ ･･･（答） →解答を隠す←

(4)
　 $\int dt$

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$\int dt=t + C$ ･･･（答） →解答を隠す←

(5)
　 $\int(x+ t)dx$

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$\int(x+ t)dx=\frac{x^2}{2}+ tx+ C$ ･･･（答） →解答を隠す←

(6)
　 $\int 4\pi r^2dr$

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$\int 4\pi r^2dr=\frac{4}{3}\pi r^3 + C$ ･･･（答） →解答を隠す←

(7)
　 $\int(2y-1)dy$

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$\int(2y-1)dy=y^2-y + C$ ･･･（答） →解答を隠す←

(8)
　 $\int(s-1)(s+ 1)ds$

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$\int(s-1)(s+ 1)ds=\int(s^2-1)ds -\frac{s^3}{3}-s+ C$ ･･･（答） →解答を隠す←

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