数学Ⅱ・微分積分

面積（数学Ⅱ/教科書レベル/楽しいワーク）

==面積==

♣♥～教科書入門レベル/楽しいワーク～♠♪

(1)　区間a≦x≦bにおいて，つねにf(x)≧0が成り立つとき
　例えば，右図の水色部分

　x軸，x=aの直線，
　x=bの直線，
　曲線y=f(x)
で囲まれる図形の面積Sは
$S=\underset{a}{\int^b}f(x)dx$ …(1)

【例題1】
　放物線y=4−x2とx軸とで囲まれる図形の面積を求めてください．

x軸との交点の座標は，(−2, 0), (2, 0)で，区間−2≦x≦2でつねにy=4−x2≧0だから
$S=\underset{-2}{\int^2}(4-x^2)dx$
$=\big[4x-\frac{x^3}{3}\big]_{-2}^2$
$=(8-\frac{8}{3})-(-8+\frac{8}{3})$
$=\frac{32}{3}$ …（答）

【問題1-1】
　放物線y=x2と直線x=1，x=2およびx軸とで囲まれる図形の面積を求めてください．

解答を見る

区間1≦x≦2でつねにy=x2≧0だから
$S=\underset{1}{\int^2}x^2dx$
$=\big[\frac{x^3}{3}\big]_{1}^2$
$=\frac{8}{3}-\frac{1}{3}$
$=\frac{7}{3}$ …（答）

→解答を隠す←

【問題1-2】
　放物線y=−x2+4xとx軸とで囲まれる図形の面積を求めてください．

解答を見る

x軸との交点の座標は，(0, 0), (4, 0)で，区間0≦x≦4でつねにy=−x2+4x≧0だから
$S=\underset{0}{\int^4}(-x^2+ 4x)dx$
$=\big[-\frac{x^3}{3}+ 2x^2\big]_{0}^4$
$=(-\frac{64}{3}+ 32)-0$
$=\frac{32}{3}$ …（答）

→解答を隠す←

(2)　区間a≦x≦bにおいて，つねにf(x)≦0が成り立つとき
　例えば，右図の桃色部分

　x軸，x=aの直線，
　x=bの直線，
　曲線y=f(x)
で囲まれる図形の面積Sは
$S=-\underset{a}{\int^b}f(x)dx$ …(2)

【例題2】
　放物線y=x2−2xとx軸とで囲まれる図形の面積を求めてください．

x軸との交点の座標は，(0, 0), (2, 0)で，区間0≦x≦2でつねにy=x2−2x≦0だから
$S=-\underset{0}{\int^2}(x^2-2x)dx$
$=-\big[\frac{x^3}{3}-x^2\big]_{0}^2$
$=-\{(\frac{8}{3}-4)-(0)\}$
$=\frac{4}{3}$ …（答）

【問題2-1】
　放物線y=x2−2x−2と２直線x=0, x=2およびx軸とで囲まれる図形の面積を求めてください．

解答を見る

y=x2−2x−2
=(x−1)2−3 は，区間0≦x≦2でつねにy≦0だから
$S=-\underset{0}{\int^2}(x^2-2x-2)dx$
$=-\big[\frac{x^3}{3}-x^2-2x\big]_{0}^2$
$=-\{(\frac{8}{3}-4-4)-0\}$
$=\frac{16}{3}$ …（答）

→解答を隠す←

【問題2-2】
　放物線y=x2−x−2とx軸とで囲まれる図形の面積を求めてください．

解答を見る

y=x2−x−2
=(x+1)(x−2)
とx軸との交点の座標は(−1, 0), (2, 0)で，区間−1≦x≦2で
つねにy≦0だから
$S=-\underset{-1}{\int^2}(x^2-x-2)dx$
$=-\big[\frac{x^3}{3}-\frac{x^2}{2}-2x\big]_{-1}^2$
$=-\{(\frac{8}{3}-2-4)-(-\frac{1}{3}-\frac{1}{2}+ 2)\}$
$=\frac{9}{2}$ …（答）

→解答を隠す←

【例題2'】
　y=x3−3x2+2xとx軸とで囲まれる図形の面積を求めてください．

x軸との交点を調べる
x3−3x2+2x=0
x(x2−3x+2)=0
x(x−1)(x−2)=0
x=0, 1, 2
区間0<x<1でx軸の上にあり，1<x<2でx軸の下にあるから

$S=\underset{0}{\int^1}(x^3-3x^2+ 2x)dx-\underset{1}{\int^2}(x^3-3x^2+ 2x)dx$
$=\big[\frac{x^4}{4}-x^3+ x^2\big]_0^1-\big[\frac{x^4}{4}-x^3+ x^2\big]_1^2$
$=\{(\frac{1}{4}-1+ 1)-0\}-\{(4-8+ 4)-(\frac{1}{4}-1+ 1)\}$
$=\frac{1}{2}$ …（答）

【重要】
• x軸よりも上にある区間とx軸よりも下にある区間に分けて計算する．
• 単純に全体を通した定積分を求めると，符号が付いたままで面積の計算をすることになり，正負が打ち消しあって，消えてしまう．

【問題2'-1】
　y=x(x+2)(x−1)とx軸とで囲まれる図形の面積を求めてください．

解答を見る

y=x(x+2)(x−1)
=x3+x2−2x
とx軸との交点のx座標はx=−2, 0, 1で，区間−2≦x≦0でy≧0，0≦x≦1でy≦0だから
$S=\underset{-2}{\int^0}(x^3+ x^2-2x)dx-\underset{0}{\int^1}(x^3+ x^2-2x)dx$
$=\big[\frac{x^4}{4}+\frac{x^3}{3}-x^2\big]_{-2}^0-\big[\frac{x^4}{4}+\frac{x^3}{3}-x^2\big]_{0}^1$
$=\{0-(4-\frac{8}{3}-4)\}-\{(\frac{1}{4}+\frac{1}{3}-1)-0\}$
$=\frac{37}{12}$ …（答）

→解答を隠す←

【問題2'-2】
　y=x2−2x−3と2直線x=−2, x=1及びx軸とで囲まれる図形の面積を求めてください．

解答を見る

y=x2−2x−3
=(x+2)(x−1)
とx軸との交点のx座標はx=−1, 3．
区間−2≦x≦−1でy≧0
−1≦x≦1でy≦0だから
$S=\underset{-2}{\int^{-1}}(x^2-2x-3)dx-\underset{-1}{\int^1}(x^2-2x-3)dx$
$=\big[\frac{x^3}{3}-x^2-3x\big]_{-2}^{-1}-\big[\frac{x^3}{3}-x^2-3x\big]_{-1}^{1}$
$=\{(-\frac{1}{3}-1+ 3)-(-\frac{8}{3}-4+ 6)\}$
$-\{(\frac{1}{3}-1-3)-(-\frac{1}{3}-1+ 3)\}$
$=\frac{23}{3}$ …（答）

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(3)　区間a≦x≦bにおいて，つねにf(x)≦g(x)が成り立つとき
　例えば，右図の緑色部分

-図3-1-

　曲線y=f(x)
　曲線y=g(x)
　および，直線x=a，x=bで囲まれる図形の面積Sは
$S=\underset{a}{\int^b}\{g(x)-f(x)\}dx$ …(3)

• この公式(3)において，図3-1中のx軸よりも上にある部分-上?-や，x軸よりも下にある部分-下?-の面積は，結果に影響していないことに注意．要するに，公式としては

$S=\underset{a}{\int^b}$ {上−下}dx

と書いてあり，x軸よりも上にある部分，x軸よりも下にある部分がどれだけあるかに関係なく成り立つ．

-図3-2-

-図3-3-

• 公式(3)は，グラフ全体をy軸の正の向きに十分な大きさだけ平行して，x軸よりも上の部分だけになるような図を用いて証明できる．
　平行移動しても面積の大きさは変わらないから，求める図形の面積は，公式(1)によりa≦x≦bにおいてy=g(x)よりも下にある図形の面積
$S_1=\underset{a}{\int^b}g(x)dx$
と，y=g(x)よりも下にある図形の面積
$S_2=\underset{a}{\int^b}f(x)dx$
の差で求められるから
$S=\underset{a}{\int^b}g(x)dx-\underset{a}{\int^b}f(x)dx$
$=\underset{a}{\int^b}\{g(x)-f(x)\}dx$ 　■証明終わり■
• 同様に，図3-3のようにグラフ全体をy軸の負の向きに十分な大きさだけ平行して，x軸よりも下の部分だけになるような図を用いて，公式(2)を使っても証明できる．
$S=-\underset{a}{\int^b}f(x)dx-\big(-\underset{a}{\int^b}g(x)dx\big)$
$=\underset{a}{\int^b}\{g(x)-f(x)\}dx$ 　■証明終わり■

• 重要な関係として，公式(1)と公式(2)は，公式(3)の特別な場合と見ることができる．
　すなわち，公式(1)は「上側の曲線がy=f(x)」「下側の曲線がy=0」となっている場合だから，公式(3)を使えば
$S=\underset{a}{\int^b}\{f(x)-0\}dx=\underset{a}{\int^b}f(x)dx$
になる．

　また，公式(2)は「上側の曲線がy=0」「下側の曲線がy=f(x)」となっている場合だから，公式(3)を使えば
$S=\underset{a}{\int^b}\{0-f(x)\}dx=-\underset{a}{\int^b}f(x)dx$
　結局，(1)(2)(3)とも

$S=\underset{a}{\int^b}$ {上−下}dx

にまとめられることになる．

【例題3】
　y=x2+2x−2と直線y=xとで囲まれる図形の面積を求めてください．

曲線と直線の交点を調べる
x2+2x−2=x
x2+x−2=0
(x+2)(x−1)=0
x(x−1)(x−2)=0
x=−2, 1
−2≦x≦1でy=xの直線がy=x2+2x−2の曲線の上にあるから
$S=\underset{-2}{\int^1}\{x-(x^2+ 2x -2)\}dx$
$=-\underset{-2}{\int^1}(x^2+x -2)\}dx$
$=-\big[\frac{x^3}{3}+\frac{x^2}{2}-2x\big]_{-2}^1$
$=-\{(\frac{1}{3}+\frac{1}{2}-2)-(-\frac{8}{3}+ 2+ 4)\}$
$=\frac{9}{2}$ …（答）

【問題3-1】
　y=x2−2x−2とy=−x2+4x−2で囲まれる図形の面積を求めてください．

解答を見る

２曲線の交点を調べる
x2−2x−2=−x2+4x−2
を解く
2x2−6x=0
2x(x−3)=0
x=0, 3
区間0≦x≦3で
x2−2x−2≦−x2+4x−2
だから
$S=\underset{0}{\int^{3}}\{(-x^2+ 4x-2)-(x^2-2x-2)\}dx$
$=\underset{0}{\int^{3}}(-2x^2+ 6x)dx$
$=\big[-\frac{2}{3}x^3+ 3x^2\big]_0^3=9$ …（答）

→解答を隠す←

【問題3-2】
　y=2x3−6x+1とy=2x+1とで囲まれる図形の面積を求めてください．

解答を見る

曲線と直線の交点を調べる
2x3−6x+1=2x+1
を解く
2x3−8x=0
2x(x2−4)=0
x=−2, 0, 2
区間−2≦x≦0で
2x3−6x+1≧2x+1
0≦x≦2で
2x3−6x+1≦2x+1
だから
$S=\underset{-2}{\int^{0}}\{(2x^3-6x+ 1)-(2x+ 1)\}dx$
$-\underset{0}{\int^{2}}\{(2x+ 1)-(2x^3-6x+ 1)\}dx$
$=\underset{-2}{\int^{0}}(2x^3-8x)dx-\underset{0}{\int^{2}}(2x^3-8x)dx$
$=\big[\frac{x^4}{2}-4x^2\big]_{-2}^0-\big[\frac{x^4}{2}-4x^2\big]_{0}^2$
$=\{0-(4-16)\}-\{(4-16)-0\}=24$ …（答）

→解答を隠す←

(4)　区間α≦y≦βにおいて，つねにp(x)≧0が成り立つとき
　例えば，右図の黄色部分

　y軸，
　y=αの直線，
　y=βの直線，
　曲線x=p(y)
囲まれる図形の面積Sは
$S=\underset{\alpha}{\int^{\beta}}p(y)dy$

　この公式は，このページの先頭に書いてある公式(1)において，xの役割とyの役割を入れ替えたものです．
　同様にして，次の公式も成り立ちます．

(5)　区間α≦y≦βにおいて，つねにp(x)≦0が成り立つとき
　例えば，右図の赤色部分

　y軸，
　y=αの直線，
　y=βの直線，
　曲線x=p(y)
囲まれる図形の面積Sは
$S=-\underset{\alpha}{\int^{\beta}}p(y)dy$

(6)　区間α≦y≦βにおいて，つねにf(y)≦g(y)が成り立つとき

-図5-

例えば，右図の緑色部分
　曲線x=f(y)
　曲線x=g(y)
　および，直線y=α，y=βで囲まれる図形の面積Sは
$S=\underset{\alpha}{\int^{\beta}}\{g(y)-f(y)\}dy$ …(3)

• この公式(5)は

$S=\underset{\alpha}{\int^{\beta}}$ {右−左}dy

と考えるとよい．

【例題4】
　放物線x=y2と直線x=−y+2とで囲まれる図形の面積を求めてください．

曲線と直線の交点を調べる
y2=−y+2
y2+y−2=0
(y+2)(y−1)=0
y=−2, 1
−2≦y≦1でx=−y+2の直線がx=y2の曲線の右側にあるから
$S=\underset{-2}{\int^1}(-y+ 2-y^2)dy$
$=\big[-\frac{y^3}{3}-\frac{y^2}{2}+ 2y\big]_{-2}^1$
$=\{(-\frac{1}{3}-\frac{1}{2}+ 2)-(\frac{8}{3}-2-4)\}$
$=\frac{9}{2}$ …（答）

【問題4-1】
　x=y2−2yとx=−y2+4yとで囲まれる図形の面積を求めてください．

解答を見る

２曲線の交点を調べる
y2−2y=−y2+4y
を解く
2y2−6y=0
2y(y−3)=0
y=0, 3
区間0≦x≦3で
y2−2y≦−y2+4y
だから
$S=\underset{0}{\int^{3}}\{(-y^2+ 4y)-(y^2-2y)\}dy$
$=-\underset{0}{\int^{3}}(-2y^2+ 6y)dy$
$=\big[-\frac{2y^3}{3}+ 3y^2\big]_{0}^3$
$=9$ …（答）

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【問題4-2】
　x=y2−4と２直線x=−y+2，x=y−2とで囲まれる図形の面積を求めてください．

解答を見る

右図の赤線で囲まれた図形の面積から青線で囲まれた図形の面積を引けばよいから
$S=\underset{-3}{\int^{2}}\{(-y+ 2)-(y^2-4)\}dy-\underset{-1}{\int^{2}}\{(y-2)-(y^2-4)\}dy$
$=\underset{-3}{\int^{2}}(-y^2-y+ 6)dy-\underset{-1}{\int^{2}}(-y^2+ y+ 2)dy$
$=\big[-\frac{y^3}{3}-\frac{y^2}{2}+ 6y\big]_{-3}^{2}-\big[-\frac{y^3}{3}+\frac{y^2}{2}+ 2y\big]_{-1}^{2}$
…
$=\frac{49}{3}$ …（答）

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