数学Ⅱ・微分積分

【高校数学の目次】 《数学Ⅰ・Ａ》 • 数と式　 • 根号計算 　• 場合の数.順列.組合せ 　• 確率　 • ２次関数　• ２次不等式　 • 集合・命題・条件・証明 　• 正弦定理,余弦定理 《数学Ⅱ・Ｂ》 • 指数関数.対数関数　 • 微分・積分　 《高校数学Ⅱ / 微分･積分の目次》　　　 が現在地 • 平均変化率　 • 極限値，不定形の極限　 • 導関数の定義 　 • 接線の方程式　 • 導関数の符号の求め方　 • 3次関数のグラフ（微分以前） 　 • (問題)平均変化率，関数の極限，極限値から定数を求める問題 　 • (問題)微分係数，導関数の定義　 • (問題)導関数の公式　 • (問題)増減と極値　 • (問題)最大最小,グラフと係数の符号,実数解の個数　 • センター試験.数Ⅱ微積(2013～)　 • 不定積分（数学II.多項式）　 • 不定積分2（展開）　 • 変数 t, y, r　 • 積分定数の決定　 • 定積分　 • 定積分の基本計算　 • 面積の求め方　 • 定積分と面積(1) 　 • 発展学習:定積分と面積(2) 　 • 曲線で囲まれた図形の面積　 • 絶対値付きの定積分(1)　 • 絶対値付きの定積分(2)（数学Ⅱ，入試問題）　 • 立体の体積　 • 定積分で定義される関数

※この教材は，高校数学の基本問題の中の最大値·最小値 ,グラフと係数の符号,実数解の個数のページを作り直したものです．

==微分法（数学Ⅱ/教科書レベル基本問題5）== • 最大値·最小値 • 関数のグラフと係数の符号　 • 実数解の個数（文字係数） 【例題1】 　次の関数について，（　）内の範囲における最大値と最小値を求めてください． 　y=x3−3x+2 （0≦x≦2） （解答） y’=3x2−3=3(x+1)(x−1)=0 ⇔ x=−1, 1 x ··· −1 ··· y’ + 0 − y 4 0 ··· 1 ··· 2 − − 0 + + 2 0 4 ··· + 　増減表のうちで赤枠で示した範囲が定義域となる． x=2のとき最大値4，x=1のとき最小値0…（答） • 「極大値」「極小値」の他に「区間の両端の値」を比べて，最大値，最小値とします． • なお，x=0のときy=2となるが，この値は≒1.732...のときにもとり得る中間の値で，最大値でも最小値でもない． • 「最大値，最小値を求めよ」という問題では，最大値，最小値の（yの）値だけでなく，その値を与えるxの値も答えるのが普通です．だから，答案は上記のように書くか，次の形に書くかのいずれかが普通． 　最大値4（x=2），最小値0（x=1） （参考）グラフは下図のようになります

【例題2】 　次の関数について，（　）内の範囲における最大値と最小値を求めてください． 　y=−x3−3x2+4 （−2≦x≦1） （解答） y’=−3x2−6x=−3x(x+2)=0 ⇔ x=−2, 0 x ··· y’ − y −2 ··· 0 ··· 1 0 + 0 − − 0 4 0 ··· − 　増減表のうちで赤枠で示した範囲が定義域となる． x=0のとき最大値4，x=−2, 1のとき最小値0…（答） • 同じ値が最小値となっているとき，「どちらも最小値」とします．「日本タイ記録」「世界タイ記録」のような考え方です （参考）グラフは下図のようになります

• 空欄を「半角数字(1, 2, 3 など)」「半角英小文字」(a, b, c など)で埋めて，採点ボタンを押してください． • 採点すれば採点結果と解説が出ます．見ているだけでは解説は出ません． 次の関数について，（　）内の範囲における最大値と最小値を求めてください． 【問題1-1】 　y=2x3−3x2−12x （−2≦x≦3） x=のとき最大値 x=のとき最小値 採点する やり直す 解説を読む （解答） y’=6x2−6x−12=6(x+1)(x−2) y’=0 ⇔ x=−1, 2 x ··· y’ + y −2 ··· −1 ··· 2 ··· 3 + + 0 − 0 + + −4 7 −20 −9 ··· + 　増減表のうちで赤枠で示した範囲が定義域となる． x=−1のとき最大値7，x=2のとき最小値−20…（答） →解説を隠す← （参考）グラフは下図のようになります

次の関数について，（　）内の範囲における最大値と最小値を求めてください． 【問題1-2】 　y=−x3+x2 （−1≦x≦1） x=のとき最大値 x=，のとき最小値 採点する やり直す 解説を読む （解答） y’=−3x2+2x=−x(3x−2) y’=0 ⇔ x ··· y’ − y −1 ··· 0 ··· ··· 1 − − 0 + 0 − − 2 0 0 ··· + 　増減表のうちで赤枠で示した範囲が定義域となる． x=−1のとき最大値2，x=0, 1のとき最小値0…（答） →解説を隠す← （参考）グラフは下図のようになります

《関数のグラフと係数の符号》 【例題3】 　3次関数f(x)=ax3+bx2+cx+dのグラフが下図のような形になるとき，係数a, b, c, dの符号を定めてください． α β （解答） f(x)=ax3+bx2+cx+d…(1) f’(x)=3ax2+2bx+c…(2) • y軸との交点を見ると，f(0)=d>0 • x→−∞のときf(x)→−∞，x→∞のときf(x)→∞だからa>0 • グラフから，極大値と極小値があるから，f’(x)=3ax2+2bx+c=0の２つの実数解を0<α<βとおくと，(2)について解と係数の関係から a>0だから，b<0, c>0 以上から，a>0, b<0, c>0, d>0…（答）

【問題3-1】 　3次関数f(x)=ax3+bx2+cx+dのグラフが下図のような形になるとき，係数a, b, c, dの符号を定めてください． （各々正しい方をクリックしてください） α β a>0b>0c>0d>0 a<0b<0c<0d<0 解説を読む （解答） f(x)=ax3+bx2+cx+d…(1) f’(x)=3ax2+2bx+c…(2) • y軸との交点を見ると，f(0)=d<0 • x→−∞のときf(x)→∞，x→∞のときf(x)→−∞だからa<0 • グラフから，極大値と極小値があるから，f’(x)=3ax2+2bx+c=0の２つの実数解を0<α<βとおくと，(2)について解と係数の関係から a<0だから，b>0, c<0 以上から，a<0, b>0, c<0, d<0…（答） →解説を隠す←

【問題3-2】 　3次関数f(x)=ax3+bx2+cx+dのグラフが下図のような形になるとき，係数a, b, c, dの符号を定めてください． （各々正しい方をクリックしてください） α β a>0b>0c>0d>0 a<0b<0c<0d<0 解説を読む （解答） f(x)=ax3+bx2+cx+d…(1) f’(x)=3ax2+2bx+c…(2) • y軸との交点を見ると，f(0)=d>0 • x→−∞のときf(x)→∞，x→∞のときf(x)→−∞だからa<0 • グラフから，極大値と極小値があるから，f’(x)=3ax2+2bx+c=0の２つの実数解をα<−1, β<1とおくと，α+β<0, αβ<0 (2)について解と係数の関係から a<0だから，b>0, c<0 以上から，a<0, b<0, c>0, d>0…（答） （別解） グラフの形からa<0 グラフとx軸との交点がx=−2, −1, 2となっているから f(x)=a(x+2)(x+1)(x−2)=a(x3+x2−4x−4) =ax3+ax2−4ax−4aとおける したがって，b=a<0, c=−4a>0, d=−4a>0…（答） →解説を隠す←

【問題3-3】 　3次関数f(x)=ax3+bx2+cx+dのグラフが下図のような形になるとき，係数a, b, c, dの符号を定めてください． （各々正しい方をクリックしてください） α β a>0b>0c>0d>0 a<0b<0c<0d<0 解説を読む （解答） f(x)=ax3+bx2+cx+d…(1) f’(x)=3ax2+2bx+c…(2) • y軸との交点を見ると，f(0)=d<0 • x→−∞のときf(x)→−∞，x→∞のときf(x)→∞だからa>0 • グラフから，極大値と極小値があるから，f’(x)=3ax2+2bx+c=0の２つの実数解を0<α<βとおくと，α+β>0, αβ>0 (2)について解と係数の関係から a>0だから，b>0, c<0 以上から，a<0, b>0, c>0, d<0…（答） →解説を隠す←

《文字係数方程式の実数解の個数》 (1) 文字定数aの値に応じて，方程式x3−3x+a=0の実数解の個数を調べるような問題では a=−x3+3xと変形することにより，2つのグラフf(x)=aとg(x)=−x3+3xの共有点の個数を調べるとよい (2) x3−3ax2+4a=0（a>0）のように，文字定数aについて解いてしまうと といった「分数関数」になってしまう場合は，数学Ⅱの範囲では導関数を求められないので，元の関数のまま 　　　y=x3−3ax2+4a の形を微分して，文字定数を含めた形でx軸との共有点の個数を調べるとよい． ※(2)の方が適用範囲が広いが，途中の処理がやや複雑になる． (1)の場合，黒線で示したg(x)=−x3+3xのグラフを描いてから，文字定数aの値の大小に応じて，赤線で示したf(x)=aのグラフを描くと，共有点の個数が調べられる． a<−2 −2<a<2 a>2 a=−2 a=2 【例題4】 　aを正の定数とするとき，3次方程式x3−3ax2+4a=0の実数解の個数を調べてください． （解答） y=x3−3ax2+4aとおく y’=3x2−6ax=3x(x−2a) y’=0 ⇔ x=0, 2a a>0だから，増減表は次の通り x ··· 0 ··· 2a ··· y’ + 0 − 0 + y 4a −4a3+4a ここで，a>0のとき ア) −4a3+4a=−4a(a+1)(a−1)>0⇔a>1(下図赤) イ) −4a3+4a=−4a(a+1)(a−1)=0⇔a=1(下図緑) ウ) −4a3+4a=−4a(a+1)(a−1)<0⇔0<a<1(下図青) x軸との共有点の個数は ア)　a>1のとき，1個 イ)　a=1のとき，2個 ウ)　0<a<1のとき，3個…（答）

【問題4-1】 　3次方程式2x3−3ax2+1=0が異なる3つの実数解をもつとき，定数aの値の範囲を求めてください． 　a> 採点する やり直す 解説を読む （解答） y=2x3−3ax2+1とおく y’=6x2−6ax=6x(x−a) y’=0 ⇔ x=0, a ア）　a>0のとき x ··· 0 ··· a ··· y’ + 0 − 0 + y 1 −a3+1 y=0が異なる3つの実数解をもつためには，−a3+1<0が条件となる 　a3−1>0 　a>1 イ） a=0のとき 　y’=6x2≧0となって，極値をもたない 　グラフは単調増加関数となり，y=0は１つの実数解だけをもつ． ウ） a<0のとき x ··· a ··· 0 ··· y’ + 0 − 0 + y −a3+1 1 y=0は１つの実数解だけをもつ． 以上から，a>1…（答） （参考）グラフは下図のようになります 赤：a<0のときのグラフ 緑：0<a<1のときのグラフ 青：a>1のときのグラフ →解説を隠す←

【問題4-2】 　3次方程式2x3−6x+a=0が負の解を２つと正の解を１つもつとき，定数aの値の範囲を求めてください． 　<a< 採点する やり直す 解説を読む （解答） y=2x3−6x+aとおく y’=6x2−6=6(x+1)(x−1) y’=0 ⇔ x=−1, 1 x ··· −1 ··· 0 ··· 1 ··· y’ + 0 − − − 0 + y a+4 a a−4 a+4 a グラフから，正の解を１つをもつ条件はa<0， 負の解を２つもつ条件はa+4>0となる． −4<a<0…（答） （別解） この形の方程式は，−2x3+6x=aと変形すると，左辺が固定した曲線，右辺が横線となって，共有を調べやすい． y1=−2x3+6xとおく y1’=−6x2+6=−6(x+1)(x−1) y1’=0 ⇔ x=−1, 1 x ··· −1 ··· 0 ··· 1 ··· y’ − 0 + + + 0 − y 4 0 −4 a a a aの値を変化させて，横線を上下に動かすとき，負の解を２つと正の解を１つもつとき，共有点のx座標が，負の値2個と正の値１個となるのは −4<a<0…（答） →解説を隠す←

【問題4-3】 　3次方程式が負の解を1つと正の解を2つもつとき，定数aの値の範囲を求めてください． 　<a< 採点する やり直す 解説を読む （解答） とおくと y1’=x2−2x−3=(x+1)(x−3) y1’=0 ⇔ x=−1, 3 x ··· −1 ··· 0 ··· 3 ··· y’ + 0 − − − 0 + y 1 −8 y2=aのグラフは横線 次のようなグラフになる 1 a>1 −8<a<1 a≦−8 グラフから，負の解を1つと正の解を2つもつ−8<a<1…（答） →解説を隠す←