数学Ⅱ・微分積分

不定積分(2)

【高校数学の目次】《数学Ⅰ・Ａ》
• 数と式　 • 根号計算　• 場合の数.順列.組合せ　• 確率　 • ２次関数　• ２次不等式　 • 集合・命題・条件・証明　• 正弦定理,余弦定理
《数学Ⅱ・Ｂ》
• 指数関数.対数関数　 • 微分・積分　

《高校数学Ⅱ / 微分･積分の目次》　　　が現在地 • 平均変化率　 • 極限値，不定形の極限　 • 導関数の定義　 • 接線の方程式　 • 導関数の符号の求め方　 • 3次関数のグラフ（微分以前）　 • (問題)平均変化率，関数の極限，極限値から定数を求める問題　 • (問題)微分係数，導関数の定義　 • (問題)導関数の公式　 • (問題)増減と極値　 • (問題)最大最小,グラフと係数の符号,実数解の個数　 • センター試験.数Ⅱ微積(2013～)　 • 不定積分（数学II.多項式）　 • 不定積分2（展開）　 • 変数 t, y, r　 • 積分定数の決定　 • 定積分　 • 定積分の基本計算　 • 面積の求め方　 • 定積分と面積(1) 　 • 発展学習:定積分と面積(2) 　 • 曲線で囲まれた図形の面積　 • 絶対値付きの定積分(1)　 • 絶対値付きの定積分(2)（数学Ⅱ，入試問題）　 • 立体の体積　 • 定積分で定義される関数　

♪♥ この教材は，高校数学の基本問題のうち，不定積分(展開)の「マイナーチェンジありカバー版」「広告なし」「パソコン用」ページです．
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== 不定積分2(展開) == 《解説》

まず，次の点に注意してください．
■積分を求めてから後で掛けてよいのは，定数 $k$ との掛け算になっている場合だけです．_
$\int kf(x) dx=k \int f(x) dx=kF(x) + C$
≪正しい例≫
$\int 3x dx=3\times \frac{x^2}{2} + C=\frac{3}{2}x^2 + C$

■これに対して積の形になっている関数を積分するときに，１つずつ積分してから後で掛けても正しい答にはなりません．
≪間違いの例≫
$\int x\cdot x^2 dx=\frac{x^2}{2} \cdot \frac{x^3}{3} + C$
≪正しくは≫
$\int x^3 dx=\frac{x^4}{4} + C$

（これが基本）
　数学Ⅱでは
$\int (x+ 1)(x + 2) dx$ や $\int (x+ 1)^2 dx$ のように積
の形の関数をそのまま積分する公式は扱いませんので，これらの積分をするときは「前もって展開をしてから積分を求める」のが基本です．

【例】
(1)　 $\int (x+ 1)(x + 2) dx=\int (x^2 + 3x + 2)dx$
$=\frac{1}{3}x^3 + \frac{3}{2}x^2 + 2x + C$
(2)　 $\int (x+ 1)^2 dx=\int (x^2 + 2x + 1)dx$
$=\frac{1}{3}x^3 + x^2 + x + C$

※上に述べた定数との掛け算でも，定数という関数として扱うと，次のように間違った計算になります．
≪間違いの例≫
$\int 3\cdot x dx= 3x \cdot \frac{x^2}{2} + C=\frac{3}{2}x^3 + C$
定数は，積分記号の外に出せるだけですので注意しましょう．
≪正しくは≫
$\int 3x dx=3\int x dx=3\times \frac{x^2}{2} + C$

　なお発展学習として，１次式の累乗になってる関数の積分については，次の準公式があります．
$\int (ax+ b)^n dx=\frac{1}{a(n+ 1)}(ax+ b)^{n+ 1} + C$
　この公式は，数学Ⅲで置換積分というものを習えば簡単に証明できますが，数学Ⅱの段階では「発展学習の，便利な公式だ！」程度に考えておくとよいでしょう．
【例】
$\int (2x+ 3)^4 dx=\frac{1}{2\times 5}(2x+ 3)^{5} + C$
※ $\frac{1}{n+ 1}(ax+ b)^{n+ 1}$ をaで割ったものになるということです

【問題1】
　次の不定積分を求めてください．なお，積分定数はCで表すものとします．

　（選択肢をクリックすれば，採点結果と解説が出ます．見ているだけでは解説は出ません．）

(1)
　 $\int x(x+ 1)dx$

$\frac{x^3}{3}+\frac{3}{2}x^2+ 2x+ C$ $x^3+ x^2+ C$

$\frac{x^3}{3}+\frac{x^2}{2}+ C$ $\frac{x^2}{2}\big(\frac{x^2}{2}+ x\big)+ C$

解答を見る

はじめに被積分関数を展開してから，各項ごとに積分を行うのが基本です
$\int x(x+ 1)dx=\int(x^2+ x)dx$
$=\frac{x^3}{3}+\frac{x^2}{2}+ C$ ･･･（答） →解答を隠す←

(2)
　 $\int(x+ 1)(x+ 2)dx$

$\frac{x^3}{3}+\frac{3}{2}x^2+ 2x+ C$ $\frac{x^3}{3}+\frac{3}{2}x^2+ C$

$\big(\frac{x^2}{2}+ x\big)\big(\frac{x^2}{2}+ 2x\big)+ C$ $x^3+ x^2+ C$

解答を見る

$\int(x+ 1)(x+ 2)dx=\int(x^2+ 3x+ 2)dx$
$=\frac{x^3}{3}+ \frac{3}{2}x^2+ 2x+ C$ ･･･（答） →解答を隠す←

(3)
　 $\int x(x+ 1)(x+ 2)dx$

$\frac{x^3}{3}+\frac{3}{2}x^2+ 2x+ C$ $x^3+ 3x^2+ 2x+ C$

$\frac{x^4}{4}+ x^3+ x^2 + C$ $\frac{x^4}{4}+ 3x^2+ 2x^2 +C$

解答を見る

$\int x(x+ 1)(x+ 2)dx=\int(x^3+ 3x^2+ 2x)dx$
$=\frac{x^3}{4}+x^3+ x^2+ C$ ･･･（答） →解答を隠す←

(4)
　 $\int(x+ 2)^2dx$

$\frac{x^3}{3}+\frac{3}{2}x^2+ 2x+ C$ $\frac{x^3}{3}+\frac{3}{2}x^2+ C$

$\big(\frac{x^2}{2}+ x\big)\big(\frac{x^2}{2}+ 2x\big)+ C$ $\frac{1}{3}(x+ 2)^3+ C$

解答を見る

発展学習として，準公式を覚える場合
$\int(x+ 2)^2dx=\frac{1}{3}(x+ 2)^3+ C\apos$ ･･･(#1)
準公式を覚えない立場では，普通に展開してから積分すればよい
$\int(x+ 2)^2dx=\int(x^2+ 4x+ 4)dx=\frac{x^3}{3}+ 2x^2+ 4x+ C$ ･･･(#2)
なお，(#1)は，展開すると
$\frac{1}{3}(x^3+ 6x^2+ 12x+ 8)+ C\apos=\frac{x^3}{3}+ 2x^2+ 4x+\frac{8}{3}+ C\apos$
となるから，(#1)と(#2)は定数項を
$\frac{8}{3}+ C\apos=C$
とおけば同じものを表す
→解答を隠す←

(5)
　 $\int (3x+ 2)^2dx$

$\frac{1}{3}(3x+ 2)^3+ C$ $\frac{1}{6}(3x+ 2)^3+ C$

$3x^3+ 2x^2+ 4x + C$ $3x^3+ 6x^2+ 4x + C$

解答を見る

発展学習として，準公式を覚える場合
$\int(3x+ 2)^2dx=\frac{1}{9}(3x+ 2)^3+ C\apos$ ･･･(#1)
準公式を覚えない立場では，普通に展開してから積分すればよい
$\int(3x+ 2)^2dx=\int(9x^2+ 12x+ 4)dx$
$=3x^3+ 6x^2+ 4x+ C$ ･･･(#2)
なお，(#1)は，展開すると
$\frac{1}{9}(27x^3+ 54x^2+ 36x+ 8)+ C\apos$
$=3x^3+ 6x^2+ 4x+ \frac{8}{9}+ C\apos$
となるから，(#1)と(#2)は定数項を
$\frac{8}{9}+ C\apos=C$
とおけば同じものを表す →解答を隠す←

(6)
　 $\int(2x-1)^2dx$

$\frac{1}{3}(2x-1)^3+ C$ $\frac{1}{4}(2x-1)^3+ C$

$\frac{1}{6}(2x-1)^3+ C$

解答を見る

発展学習として，準公式を覚える場合
$\int(2x-1)^2dx=\frac{1}{3\times 2}(2x-1)^3+ C\apos=\frac{1}{6}(2x-1)^3+ C\apos$ ･･･(#1)
準公式を覚えない立場では，普通に展開してから積分すればよい
$\int(2x-1)^2dx=\int(4x^2-4x+ 1)dx=\frac{4x^3}{3}-2x^2+ x+ C$ ･･･(#2)
なお，(#1)は，展開すると
$\frac{1}{6}(8x^3-12x^2+ 6x-1)+ C\apos=\frac{4x^3}{3}-2x^2+ x-\frac{1}{6}+ C\apos$
となるから，(#1)と(#2)は定数項を
$-\frac{1}{6}+ C\apos=C$
とおけば同じものを表す
→解答を隠す←

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