数学Ⅱ・微分積分

絶対値付関数の積分

【高校数学の目次】《数学Ⅰ・Ａ》
• 数と式　 • 根号計算　• 場合の数.順列.組合せ　• 確率　 • ２次関数　• ２次不等式　 • 集合・命題・条件・証明　• 正弦定理,余弦定理
《数学Ⅱ・Ｂ》
• 指数関数.対数関数　 • 微分・積分　

《高校数学Ⅱ / 微分･積分の目次》　　　が現在地 • 平均変化率　 • 極限値，不定形の極限　 • 導関数の定義　 • 接線の方程式　 • 導関数の符号の求め方　 • 3次関数のグラフ（微分以前）　 • (問題)平均変化率，関数の極限，極限値から定数を求める問題　 • (問題)微分係数，導関数の定義　 • (問題)導関数の公式　 • (問題)増減と極値　 • (問題)最大最小,グラフと係数の符号,実数解の個数　 • センター試験.数Ⅱ微積(2013～)　 • 不定積分（数学II.多項式）　 • 不定積分2（展開）　 • 変数 t, y, r　 • 積分定数の決定　 • 定積分　 • 定積分の基本計算　 • 面積の求め方　 • 絶対値付きの定積分(1)　 • 絶対値付きの定積分(2)（数学Ⅱ，入試問題）　 • 曲線で囲まれた図形の面積　 • 立体の体積　 • 定積分で定義される関数　

♪♥ この教材は，高校数学の基本問題のうち，絶対値付きの定積分(1)の「マイナーチェンジありカバー版」「広告なし」「パソコン用」ページです．
♫♣ 元の教材が通信トラブルなどで読めないときに，こちらを使ってください．なお，学習の記録は付いていません．

■絶対値付関数の積分
◆要点◆　・・・　区間によって異なる関数形となるときは，区間を分けて積分します。

※　基本的な使い方は，右図［１］のような場合で，ａからｂまで積分するときに，途中のｃで関数形が変わるとき，まずａからｃまでの積分を求め，これにｃからｂまでの積分を加えます。

【解説】　原始関数の１つをF(x)とすると
左辺＝F(b) - F(a)
右辺＝F(c) - F(a) + F(b) - F(c) = F(b) - F(a)
これらは等しい。

※　左の解説において，a，b，cの大小関係は前提とされておらず，単にF(c)が計算上消えることによるので，図［2］のようにｃがａ，ｂの外側にある場合でもこの公式は成り立ちます。

◆絶対値付の関数の積分◆
　絶対値付きの関数の積分は、要注意です。特に、積分してから絶対値を付けたものは，元のものと全く違います。

例

　絶対値付きの関数を正しく積分するためには，絶対値記号をはずして、区間ごとに分けて計算します。（次の例題参照）

■例題 (1) を計算しなさい。（答案） \|x-1\|は　ア)　x<1のとき-x+1　イ)　x≧1のときx-1　となるから	【解説図】
(2)　を計算しなさい。（答案）	【解説図】

問題･･･次の各定積分の値を求めてください

(1)
$\underset{-2}\int^3\mid x-1\mid dx$

解説を読む

(1) x<1のとき，|x−1|=−x+1
(2) x≧1のとき，|x−1|=x−1だから
$\int_{-2}^3\mid x-1\mid dx=\int_{-2}^1(-x+ 1)dx+\int_{1}^3(x-1)dx$
$=\left[-\frac{x^2}{2}+ x\right]_{-2}^1+\left[\frac{x^2}{2}-x\right]_1^3=\frac{1}{2}+ 4+\frac{3}{2}+\frac{1}{2}=\frac{13}{2}$

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(2)
$\underset{-2}\int^3\mid x+ 2\mid dx$

解説を読む

(1) x<−2のとき，|x+2|=−x−2
(2) x≧−2のとき，|x+2|=x+2だから
$\int_{-2}^3\mid x+ 2\mid dx=\int_{2}^3(x+ 2)dx$
↑ラッキー！一発で！
$=\left[\frac{x^2}{2}+ 2x\right]_{-2}^3=\frac{9}{3}+ 6-(2-4)=\frac{25}{2}$

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(3)
$\underset{-2}\int^3\mid x-2\mid dx$

解説を読む

(1) x<2のとき，|x−2|=−x+2
(2) x≧2のとき，|x−2|=x−2だから
$\int_{-2}^3\mid x-2\mid dx=\int_{-2}^2(-x+ 2)dx+\int_{2}^3(x-2)dx$
$=\left[-\frac{x^2}{2}+ 2x\right]_{-2}^2+\left[\frac{x^2}{2}-2x\right]_2^3=2+ 6-\frac{3}{2}+ 2=\frac{17}{2}$

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(4)
$\underset{-2}\int^3\mid x+ 1\mid dx$

解説を読む

(1) x<−1のとき，|x+1|=−x−1
(2) x≧−1のとき，|x+1|=x+1だから
$\int_{-2}^3\mid x+ 1\mid dx=\int_{-2}^{-1}(-x-1)dx+\int_{-1}^3(x+ 1)dx$
$=\left[-\frac{x^2}{2}-x\right]_{-2}^{-1}+\left[\frac{x^2}{2}+ x\right]_{-1}^3=\frac{1}{2}-0+\frac{15}{2}+\frac{1}{2}=\frac{17}{2}$

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(5)
$\underset{-2}\int^3(\mid x\mid-1)dx$

解説を読む

(1) x<0のとき，|x|=−x
(2) x≧0のとき，|x|=xだから
$\int_{-2}^3(\mid x\mid -1)dx=\int_{-2}^0(-x-1)dx+\int_{0}^3(x-1)dx$
$=\left[-\frac{x^2}{2}-x\right]_{-2}^0+\left[\frac{x^2}{2}-x\right]_0^3=\frac{3}{2}$

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(6)
$\underset{-2}\int^3{\LARGE{|}}\hspace{01}{\small{|}}\hspace{1}x-1\hspace{1}{\small{|}}\hspace{1}-1\hspace{1}{\LARGE{|}} dx$

解説を読む

(6)　ていねいに場合分けすると，かなり長い答案になる
（ア) x<1のとき

|x−1|=−(x−1)だから
| |x−1|−1|=|−(x−1)−1|=|−x|=|x|
その i) x<0のとき

|x|=−x

そのii) 0≦x<1のとき

|x|=x

(イ) 1≦xのとき

|x−1|=x−1だから
| |x−1|−1|=|x−1−1|=|x−2|
その i) 1≦x<2のとき

|x−2|=−x+2

そのii) 2≦xのとき

|x−2|=x−2

以上から
（原式）=
$\underset{-2}{\int^0}(-x)dx+\underset{0}{\int^{1}}xdx+\underset{1}{\int^2}(-x+ 2)dx+\underset{2}{\int^3}(x-2)dx$
$=\big[-\frac{x^2}{2}\big]_{-2}^0+\big[\frac{x^2}{2}\big]_0^1+\big[-\frac{x^2}{2}+ 2x\big]_1^2+\big[\frac{x^2}{2}-2x\big]_2^3$
$=\{0-(-2)\}+\{\frac{1}{2}-0\}+\{(-2+ 4)-(-\frac{1}{2}+ 2)\}+\{(\frac{9}{2}-6)-(2-4)\}$
$=2+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=\frac{7}{2}$

（別解）
♥♣∀～「絶対値のグラフは，鏡写しの術で!!」～♠♪∅

　y=x−1のグラフ→①
これをx軸で折り返すと
　y=|x−1|のグラフ→②
これを下に1だけ平行移動すると
　y=|x−1|−1のグラフ→③
これをx軸で折り返すと
　y=||x−1|−1|のグラフ→④
面積は，三角形（底辺×高さ÷2）を４個足す
$2+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=\frac{7}{2}$

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【媒介変数（助変数）を含むとき】
$f(x)=\int_{a}^x\mid t-1\mid dt$ …(1)
の積分記号の中では， $x$ は定数， $t$ が変数
積分記号の外では， $x$ が変数， $t$ は存在しない．
$f(x)=\int_{a}^b\mid t-x\mid dt$ …(2)
の積分記号の中では， $x$ は定数， $t$ が変数
積分記号の外では， $x$ が変数， $t$ は存在しない．

(1)のように積分変数が $t$ で，それとは異なる文字 $x$ が積分区間の上端や下端にあるとき，

$t$ で積分するときは， $x$ は単なる定数として扱い，できあがった $x$ の式を $x$ の関数とします．

【例】
$f(x)=\int_{0}^x\mid t-1\mid dt$
を $x$ の簡単な式で表してください．

（解答）

$t\lt 1$ のとき $|t-1|=-t+ 1$
$t\underline{\ge}1$ のとき $|t-1|=t-1$
だから
(ア) $x\lt 1$ のとき積分区間 $0\underline{\le}t\underline{\le}x$ に入るどの $t$ の値に対しても
$|t-1|=-t+ 1$
となるから
$f(x)=\int_{0}^x\mid t-1\mid dt=\int_{0}^x(-t+ 1)dt$
$=\left[-\frac{t^2}{2}+ t\right]_0^x=-\frac{x^2}{2}+ x$

ここでは $x\underline{\ge}0$ の図で説明したが，実際には積分区間の上端が下端よりも小さくても構わない（上から下を引くだけの計算だから）から， $x\lt 0$ でもよい．

(イ) $1\underline{\le}x$ のとき積分区間 $0\underline{\le}t\underline{\le}x$ は，次の2つの区間に分けられる．

i) $0\underline{\le}t\lt 1$ のとき $|t-1|=-t+ 1$
ii) $1\underline{\le}t\underline{\le}x$ のとき $|t-1|=t-1$

$f(x)=\int_{0}^1(-t+ 1)dt+\int_{1}^x(t-1)dt$
$=\left[-\frac{t^2}{2}+ t\right]_0^1+\left[\frac{t^2}{2}-t\right]_1^x$
$=\frac{1}{2}-0+ (\frac{x^2}{2}-x)-(\frac{1}{2}-1)$
$=\frac{x^2}{2}-x+ 1$

(2)のように積分変数が $t$ で，それとは異なる文字 $x$ との大小に応じて絶対値記号のはずし方を考えるとき

$t$ で積分するときは， $x$ は単なる定数として扱い，できあがった $x$ の式を $x$ の関数とする事情は(1)と同じですが， $x$ が積分区間の中にある場合には，場合分けして積分することになります．

【例】
$f(x)=\int_{0}^1\mid t-x\mid dt$
を $x$ の簡単な式で表してください．

（解答）

(ア) $x\lt 0$ のとき，積分区間 $0\underline{\le}t\underline{\le}1$ に含まれるどの $t$ の値も $t-x\gt 0$ を満たすから
$f(x)=\int_{0}^1\mid t-x\mid dt=\int_{0}^1(t-x)dt$
$=\left[\frac{t^2}{2}-xt\right]_0^1=(\frac{1}{2}-x)-(0-0)=\frac{1}{2}-x$

$x$ は定数だから値が固定されている．
$x$ に先に手を出させてから， $t$ は「後出しジャンケン」をする

(イ) $0\underline{\le}x\lt 1$ のとき，積分区間 $0\underline{\le}t\underline{\le}1$ に含まれる $t$ の値のうち

i) $0\underline{\le}t\lt x$ のとき， $t\lt x$ だから $|t-x|=-t+ x$
ii) $x\underline{\le}t\underline{\le}1$ のとき， $t\underline{\ge}x$ だから $|t-x|=t-x$

$f(x)=\int_{0}^1\mid t-x\mid dt=\int_{0}^x(-t+ x)dt+\int_x^1(t-x)dt$
$=\left[-\frac{t^2}{2}+ xt\right]_0^x+\left[\frac{t^2}{2}-xt\right]_x^1$
$=-\frac{x^2}{2}+ x^2-+(\frac{1}{2}-x)-(\frac{x^2}{2}-x^2)$
$=x^2-x+\frac{1}{2}$
(ウ) $x\underline{\ge}1$ のとき，積分区間 $0\underline{\le}t\underline{\le}1$ に含まれるどの $t$ の値も $t-x\underline{\le}0$ を満たすから
$f(x)=\int_{0}^1\mid t-x\mid dt=\int_{0}^1(-t+ x)dt$
$=\left[-\frac{t^2}{2}+ xt\right]_0^1=-\frac{1}{2}+ x$

【問題２】

$t,\hspace{3}x$ は実数とする．関数 $f(t)$ を $f(t)=2\hspace{2}\mid\hspace{2}t-1\hspace{2}\mid + t+ 1$
と定義し， $F(x)=\int_0^xf(t)dt$ とおく．
(2) 関数 $F(x)$ を求めよ．
(1)(3)(4) 略

（2014年度愛媛大入試問題）

解説を読む解説を隠す

$t\lt 1$ のとき $|t-1|=-t+ 1$
$t\underline{\ge}1$ のとき $|t-1|=t-1$
だから
(ア) $x\lt 1$ のとき積分区間 $0\underline{\le}t\underline{\le}x$ に入るどの $t$ の値に対しても
$|t-1|=-t+ 1$
となるから
$F(x)=\int_{0}^x\left(2\mid t-1\mid + t+ 1\right)dt=\int_{0}^x(-t+ 3)dt$
$=\left[-\frac{t^2}{2}+ 3t\right]_0^x=-\frac{x^2}{2}+ 3x$
(イ) $1\underline{\le}x$ のとき積分区間 $0\underline{\le}t\underline{\le}x$ は，次の2つの区間に分けられる．

i) $0\underline{\le}t\lt 1$ のとき $|t-1|=-t+ 1$
ii) $1\underline{\le}t\underline{\le}x$ のとき $|t-1|=t-1$

$F(x)=\int_{0}^1(-2t+ 2+ t+ 1)dt+\int_{1}^x(2t-2+ t+ 1)dt$
$=\int_{0}^1(-t+ 3)dt+\int_{1}^x(3t-1)dt$
$=\left[-\frac{t^2}{2}+ 3t\right]_0^1+\left[\frac{3t^2}{2}-t\right]_1^x$
$=-\frac{1}{2}+ 3-0+ (\frac{3x^2}{2}-x)-(\frac{3}{2}-1)$
$=\frac{3x^2}{2}-x+ 2$

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【問題３】

　実数 $x$ に対して，関数 $f(x)$ を $f(x)=\int_0^2\mid\hspace{2}t-x\hspace{2}\mid dt$
とおく．次の問いに答えよ．
(1)　関数 $f(x)$ を求め，そのグラフをかけ．
(2)(3) 略

（2011年度金沢大入試問題）

解説を読む解説を隠す

(ア) $x\lt 0$ のとき，積分区間 $0\underline{\le}t\underline{\le}2$ に含まれるどの $t$ の値も $t-x\gt 0$ を満たすから
$f(x)=\int_{0}^2\mid t-x\mid dt=\int_{0}^2(t-x)dt$
$=\left[\frac{t^2}{2}-xt\right]_0^2=(2-2x)-(0-0)=2-2x$
(イ) $0\underline{\le}x\lt 2$ のとき，積分区間 $0\underline{\le}t\underline{\le}2$ に含まれる $t$ の値のうち

i) $0\underline{\le}t\lt x$ のとき， $t\lt x$ だから $|t-x|=-t+ x$
ii) $x\underline{\le}t\underline{\le}2$ のとき， $t\underline{\ge}x$ だから $|t-x|=t-x$

$f(x)=\int_{0}^2\mid t-x\mid dt=\int_{0}^x(-t+ x)dt+\int_x^2(t-x)dt$
$=\left[-\frac{t^2}{2}+ xt\right]_0^x+\left[\frac{t^2}{2}-xt\right]_x^2$
$=-\frac{x^2}{2}+ x^2-+(2-2x)-(\frac{x^2}{2}-x^2)$
$=x^2-2x+ 2$
(ウ) $x\underline{\ge}2$ のとき，積分区間 $0\underline{\le}t\underline{\le}2$ に含まれるどの $t$ の値も $t-x\underline{\le}0$ を満たすから
$f(x)=\int_{0}^2\mid t-x\mid dt=\int_{0}^2(-t+ x)dt$
$=\left[-\frac{t^2}{2}+ xt\right]_0^2=2x-2$

グラフは右図

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