数学Ⅱ・微分積分

不定積分（数学II.多項式）

【高校数学の目次】《数学Ⅰ・Ａ》
• 数と式　 • 根号計算　• 場合の数.順列.組合せ　• 確率　 • ２次関数　• ２次不等式　 • 集合・命題・条件・証明　• 正弦定理,余弦定理
《数学Ⅱ・Ｂ》
• 指数関数.対数関数　 • 微分・積分　

《高校数学Ⅱ / 微分･積分の目次》　　　が現在地 • 平均変化率　 • 極限値，不定形の極限　 • 導関数の定義　 • 接線の方程式　 • 導関数の符号の求め方　 • 3次関数のグラフ（微分以前）　 • (問題)平均変化率，関数の極限，極限値から定数を求める問題　 • (問題)微分係数，導関数の定義　 • (問題)導関数の公式　 • (問題)増減と極値　 • (問題)最大最小,グラフと係数の符号,実数解の個数　 • センター試験.数Ⅱ微積(2013～)　 • 不定積分（数学II.多項式）　 • 不定積分2（展開）　 • 変数 t, y, r　 • 積分定数の決定　 • 定積分　 • 定積分の基本計算　 • 面積の求め方　 • 定積分と面積(1) 　 • 発展学習:定積分と面積(2) 　 • 曲線で囲まれた図形の面積　 • 絶対値付きの定積分(1)　 • 絶対値付きの定積分(2)（数学Ⅱ，入試問題）　 • 立体の体積　 • 定積分で定義される関数　

♪♥ この教材は，高校数学の基本問題のうち，不定積分（数学II.多項式）のマイナーチェンジありのカバー版です．
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■不定積分（数学II.多項式）

I【ｎ次式の積分の公式】

$\int$ xndx= $\frac{x^{n+ 1}}{n+ 1}$ +C (n≧0)…(1)
（ただし、 $\int$ 1dx= $\int$ dx=x+C）【記号】

$\frac{d}{dx}$ F(x)=f(x) ⇔ $\int$ f(x)dx=F(x)+C

例１
$\frac{d}{dx}$ x3=3x2 ⇔ $\int$ x2dx= $\frac{x^3}{3}$ +C

例２
$\frac{d}{dx}$ x4=4x3 ⇔ $\int$ x3dx= $\frac{x^4}{4}$ +C

例３　ただし書きの部分

$\frac{d}{dx}$ x=1 ⇔ $\int$ 1dx= $\int$ dx=x+C

$\int$ 1dx を $\int$ dxと略す。
$\int$ dxは $\int$ 1dxの略で、 $\int$ 0dxの略ではない。
だから、 $\int$ dx=x+Cになる。

【解説】
　微分の公式を思い出すと、

(x3)’=3x2または $\frac{d}{dx}$ x3=3x2

(x3+1)’=3x2または $\frac{d}{dx}$ (x3+1)=3x2

(x3+2)’=3x2または $\frac{d}{dx}$ (x3+2)=3x2

のように、x3+C (Cは任意の定数)の形の関数を微分すると、いずれも3x2になる。（定数Cを微分すると0になるから）
○　［用語］
　このように「微分すると3x2になる」ような元の関数を関数3x2の原始関数または不定積分*といい

$\int$ 3x2dx
で表す。

この問題では、
$\int$ 3x2dx=x3+C
が成り立つ。
　不定積分（または原始関数）を求めることを積分するという。
○　一般に
$\frac{d}{dx}$ F(x)=f(x)

のとき $\int$ f(x)dx=F(x)+C

と書く。
　全く初めて見る記号で違和感があるときは、

$\int$ 2xdx=x2+C

とは（2xを積分するとx2+Cになるとは）、

$\frac{d}{dx}$ x2=2x

のこと（x2+Cを微分すると2xになる）だと言い換えるとよい。
【公式の証明】
微分の公式

$\frac{d}{dx}$ xn=nxn−1

により、

$\frac{d}{dx}$ (xn+1)=(n+1)xn

両辺をn+1で割ると

$\frac{d}{dx}$ ( $\frac{x^{n+ 1}}{n+ 1}$ )=xn

したがって

$\int$ xndx= $\frac{x^{n+ 1}}{n+ 1}$ +C

○　ある関数を「親分」に例え、その導関数（微分）を「子分」に例えるとき、「親分が決まれば子分は決まる」が「子分を決めても親分は決まらない」。
　例えば、微分して3x2になる元の関数はx3だけとは限らず、x3+1 , x3+2 , x3+3 , …のように定数項だけ異なる関数もすべて微分すると3x2になる。

*　F(x)の微分がf(x)になるときF(x)をf(x)の原始関数という。微分を指定しても原始関数はただ１通りには決まらず、定数項の分だけ不定になる。そこで、定数項Cの部分を不定にしたままで原始関数の集まりをF(x)+Cと表したものを不定積分という。

○　微分することを表す記号：
$\frac{d}{dx}$

は、分母と分子を含めた全体で１つの記号となっており、一部分だけ約分したりすることはできない。 dの部分を「約分して」 $\frac{1}{x}$ とはできない。

○　よく似た約束が積分記号にもあり、積分記号は

$\int$ f(x)dx

のように前後をサンドイッチのようにはさんだ形で使い、片方だけではダメ。
　読むときは「インテグラル・エフエックス・ディーエックス」などと読む。

○　 $\int$ の記号はアルファベットのSを縦長に引き延ばしたもの。

○　 $\int$ f(x)dxにおいてf(x)のことを被積分関数という。（積分される関数という意味）

II【定数倍、和・差の積分の変形公式】

$\int$ k f(x)dx=k $\int$ f(x)dx …(1)

$\int$ {f(x)+g(x)}dx= $\int$ f(x)dx+ $\int$ g(x)dx …(2)

$\int$ {f(x)−g(x)}dx= $\int$ f(x)dx− $\int$ g(x)dx …(3)
※　積分定数Cはまとめて１つ付けるとよい。

(1)の例
$\int$ 5x2dx=5 $\int$ x2dx=5 · $\frac{x^3}{3}$ +C= $\frac{5}{3}$ x3+C
のように定数k倍（この問題では5倍）は「後から」掛けてよい。
※　5 $\int$ x2dx=5( $\frac{x^3}{3}$ +C’)= $\frac{5}{3}$ x3+5C’だと思う人がいるかもしれないが、C’が実数全体のとき5C’が表すことのできる数は実数全体なので、改めて5C’=CとおけばCだけで書ける。5Cなどと書くとズッコケ答案になるので注意しよう。
※　「掛け算は何でも分けられる」訳ではなく、定数倍だけは後から掛けてよいという公式(1)の意味は間違いやすいので注意
　例えば
$\int$ x5dx= $\frac{x^6}{6}$ +Cは正しいが、

$\int$ x2·x3dx= $\frac{x^3}{3}$ · $\frac{x^4}{4}$ +C= $\frac{x^7}{12}$ +Cは正しくない。
　このように「２つの関数の積」を積分するときに、各々の積分を求めて「後で掛けてもダメ」である。「後から掛ける」のが許されるのは「定数倍」（xのないもの）だけである。
　だから

$\int$ (x+1)(x+2)dx

のように多項式の積になっているものを積分するときも、

$\int$ (x+1)dx $\int$ (x+2)dx=( $\frac{x^2}{2}$ +x)( $\frac{x^2}{2}$ +2x)+C

などとしてはいけない。
多項式の積分は「展開してから」公式(2)を利用して行う

$\int$ (x+1)(x+2)dx= $\int$ (x2+3x+2)dx

= $\frac{1}{3}$ x3+ $\frac{3}{2}$ x2+2x+C

(2)の例
$\int$ (x2+x)dx= $\int$ x2dx+ $\int$ xdx= $\frac{x^3}{3}$ + $\frac{x^2}{2}$ +C
※　 $\int$ x2dx+ $\int$ xdx=( $\frac{x^3}{3}$ +C)+( $\frac{x^2}{2}$ +C)= $\frac{x^3}{3}$ + $\frac{x^2}{2}$ +2C
だと思う人がいるかもしれないが、それは違う。

　２つの不定積分

$\frac{x^3}{3}$ +Cと $\frac{x^2}{2}$ +C

の任意定数Cが等しいとは限らないので、この式を丁寧に書けば

$\frac{x^3}{3}$ +C1+ $\frac{x^2}{2}$ +C2 (C1 , C2は任意定数)

になる。ところが、C1 , C2が任意定数のとき、C1+C2が表せる数は任意の実数なので、これらをまとめて単にCと書けばよい。
(3)は(2)と同様に考えるとよい。

○　(1)(2)(3)を通して、任意定数C（不定積分で登場する任意定数は、積分定数と呼ばれる）の付け方のまとめ：
　⇒　「全体をまとめて１つの積分定数Cを後ろに１つ付けるとよい。」

○　被積分関数が積や商で結ばれているとき（　　）は必要ないが、和・差・負の符号を伴うときは被積分関数を（　　）で囲む必要がある。

$\int$ とf(x)とdxは、「積」として結ばれていると考えるとよい。

$\int$ ●f(x)●dx

×		○
$\int$ x+3dx		$\int$ (x+3)dx
…		$\int$ 3x2dx $\int$ x(x2−4)dx $\int$ $\frac{x^3}{4}$ dx
$\int$ −3xdx		$\int$ (−3x)dx

例
I(1) →

$\int$ x4dx= $\frac{x^5}{5}$ +C

$\int$ xdx= $\frac{x^2}{2}$ +C

$\int$ dx=x+C

II(1) →

$\int$ 3xdx= 3 $\int$ xdx=3 $\frac{x^2}{2}$ +C= $\frac{3x^2}{2}$ +C

$\int$ 5dx=5 $\int$ dx+C=5x+C

II(2)(3) →
多項式の積分は「展開してから」公式(2)を利用して行う

$\int$ (x−3)2dx= $\int$ (x2−6x+9)dx

= $\frac{x^3}{3}$ −3x2+9x+C

$\int$ x(x+2)dx= $\int$ (x2+2x)dx

= $\frac{x^3}{3}$ +x2+C

《公式まとめ》
(1)　nが正の整数のとき
$\int x^n dx=\frac{1}{n+ 1}x^{n+ 1}+ C$
(2) 定数ｋの積分は
$\int k dx=kx+ C$
※(1)式にn=0の場合も含めると(2)は(1)の特別な場合になるが，見かけが違うので，別に覚えた方が間違いが少ない．

$\int f(x) dx=F(x)+ C$ ， $\int g(x) dx=G(x)+ C$
のとき，
(3) $\int kf(x) dx=kF(x)+ C$
(4) $\int \{f(x)+ g(x) \}dx=F(x)+ G(x)+ C$
(5) $\int \{f(x)- g(x) \}dx=F(x)- G(x)+ C$

　次の不定積分を求めてください．なお，積分定数はCで表すものとします．

　（選択肢をクリックすれば，採点結果と解説が出ます．見ているだけでは解説は出ません．）