不定積分（数学II.多項式）
【高校数学の目次】
《数学Ⅰ・Ａ》
• 数と式　 • 根号計算 　• 場合の数.順列.組合せ 　• 確率　 • ２次関数　• ２次不等式　 • 集合・命題・条件・証明 　• 正弦定理,余弦定理
《数学Ⅱ・Ｂ》
• 指数関数.対数関数　 • 微分・積分　
《高校数学Ⅱ / 微分･積分の目次》　　　 が現在地
• 平均変化率　 • 極限値，不定形の極限　 • 導関数の定義 　 • 接線の方程式　 • 導関数の符号の求め方　 • 3次関数のグラフ（微分以前） 　 • (問題)平均変化率，関数の極限，極限値から定数を求める問題 　 • (問題)微分係数，導関数の定義　 • (問題)導関数の公式　 • (問題)増減と極値　 • (問題)最大最小,グラフと係数の符号,実数解の個数　 • センター試験.数Ⅱ微積(2013～)　 • 不定積分（数学II.多項式）　 • 不定積分2（展開）　 • 変数 t, y, r　 • 積分定数の決定　 • 定積分　 • 定積分の基本計算　 • 面積の求め方　 • 定積分と面積(1) 　 • 発展学習:定積分と面積(2) 　 • 曲線で囲まれた図形の面積　 • 絶対値付きの定積分(1)　 • 絶対値付きの定積分(2)（数学Ⅱ，入試問題）　 • 立体の体積　 • 定積分で定義される関数　

♪♥ この教材は，高校数学の基本問題のうち，不定積分（数学II.多項式）のマイナーチェンジありのカバー版です．
♫♣ 元の教材が通信トラブルなどで読めないときに，こちらを使ってください．なお，学習の記録は付いていません．
■不定積分（数学II.多項式）
I【ｎ次式の積分の公式】
xndx=+C (n≧0)…(1)
（ただし、1dx=dx=x+C）
【記号】
F(x)=f(x) ⇔ f(x)dx=F(x)+C
例１
x3=3x2 ⇔ x2dx=+C
例２
x4=4x3 ⇔ x3dx=+C
例３　ただし書きの部分
x=1 ⇔ 1dx=dx=x+C
1dx を dxと略す。
dxは1dxの略で、0dxの略ではない。
だから、dx=x+Cになる。
【解説】
　微分の公式を思い出すと、
(x3)’=3x2またはx3=3x2
(x3+1)’=3x2または(x3+1)=3x2
(x3+2)’=3x2または(x3+2)=3x2
のように、x3+C (Cは任意の定数)の形の関数を微分すると、いずれも3x2になる。（定数Cを微分すると0になるから）
○　［用語］
　このように「微分すると3x2になる」ような元の関数を関数3x2の原始関数または不定積分*といい
3x2dx
で表す。
この問題では、
3x2dx=x3+C
が成り立つ。
　不定積分（または原始関数）を求めることを積分するという。
○　一般に
F(x)=f(x)
のとき f(x)dx=F(x)+C
と書く。
　全く初めて見る記号で違和感があるときは、
2xdx=x2+C
とは（2xを積分するとx2+Cになるとは）、
x2=2x
のこと（x2+Cを微分すると2xになる）だと言い換えるとよい。
【公式の証明】
微分の公式
xn=nxn−1
により、
(xn+1)=(n+1)xn
両辺をn+1で割ると
()=xn

したがって
xndx=+C
 ○　ある関数を「親分」に例え、その導関数（微分）を「子分」に例えるとき、「親分が決まれば子分は決まる」が「子分を決めても親分は決まらない」。
　例えば、微分して3x2になる元の関数はx3だけとは限らず、x3+1 , x3+2 , x3+3 , …のように定数項だけ異なる関数もすべて微分すると3x2になる。

*　F(x)の微分がf(x)になるときF(x)をf(x)の原始関数という。微分を指定しても原始関数はただ１通りには決まらず、定数項の分だけ不定になる。そこで、定数項Cの部分を不定にしたままで原始関数の集まりをF(x)+Cと表したものを不定積分という。

○　微分することを表す記号：

は、分母と分子を含めた全体で１つの記号となっており、一部分だけ約分したりすることはできない。
dの部分を「約分して」 とはできない。

○　よく似た約束が積分記号にもあり、積分記号は
f(x)dx
のように前後をサンドイッチのようにはさんだ形で使い、片方だけではダメ。
　読むときは「インテグラル・エフエックス・ディーエックス」などと読む。

○　の記号はアルファベットのSを縦長に引き延ばしたもの。

○　f(x)dxにおいてf(x)のことを被積分関数という。（積分される関数という意味）
II【定数倍、和・差の積分の変形公式】
k f(x)dx=kf(x)dx …(1)
{f(x)+g(x)}dx=f(x)dx+g(x)dx …(2)
{f(x)−g(x)}dx=f(x)dx−g(x)dx …(3)
※　積分定数Cはまとめて１つ付けるとよい。

(1)の例
5x2dx=5x2dx=5 · +C= x3+C
のように定数k倍（この問題では5倍）は「後から」掛けてよい。
※　5x2dx=5( +C’)= x3+5C’だと思う人がいるかもしれないが、C’が実数全体のとき5C’が表すことのできる数は実数全体なので、改めて5C’=CとおけばCだけで書ける。5Cなどと書くとズッコケ答案になるので注意しよう。
※　「掛け算は何でも分けられる」訳ではなく、定数倍だけは後から掛けてよいという公式(1)の意味は間違いやすいので注意
　例えば
x5dx= +Cは正しいが、
x2·x3dx= · +C= +Cは正しくない。
　このように「２つの関数の積」を積分するときに、各々の積分を求めて「後で掛けてもダメ」である。「後から掛ける」のが許されるのは「定数倍」（xのないもの）だけである。
　だから
(x+1)(x+2)dx
のように多項式の積になっているものを積分するときも、
(x+1)dx(x+2)dx=( +x)( +2x)+C
などとしてはいけない。
多項式の積分は「展開してから」公式(2)を利用して行う
(x+1)(x+2)dx=(x2+3x+2)dx
= x3+x2+2x+C
(2)の例
(x2+x)dx=x2dx+xdx= ++C
※　x2dx+xdx=( +C)+(+C)= ++2C
だと思う人がいるかもしれないが、それは違う。
　２つの不定積分
+Cと+C
の任意定数Cが等しいとは限らないので、この式を丁寧に書けば
+C1++C2 (C1 , C2は任意定数)
になる。ところが、C1 , C2が任意定数のとき、C1+C2が表せる数は任意の実数なので、これらをまとめて単にCと書けばよい。
(3)は(2)と同様に考えるとよい。

○　(1)(2)(3)を通して、任意定数C（不定積分で登場する任意定数は、積分定数と呼ばれる）の付け方のまとめ：
　⇒　「全体をまとめて１つの積分定数Cを後ろに１つ付けるとよい。」

○　被積分関数が積や商で結ばれているとき（　　）は必要ないが、和・差・負の符号を伴うときは被積分関数を（　　）で囲む必要がある。
とf(x)とdxは、「積」として結ばれていると考えるとよい。
●f(x)●dx
× ○
x+3dx
(x+3)dx
…
3x2dx
x(x2−4)dx
dx

−3xdx
(−3x)dx
例
I(1) →

x4dx= +C
xdx= +C
dx=x+C

II(1) →

3xdx= 3xdx=3 +C= +C
5dx=5dx+C=5x+C
 II(2)(3) →
多項式の積分は「展開してから」公式(2)を利用して行う

(x−3)2dx= (x2−6x+9)dx
= −3x2+9x+C
x(x+2)dx= (x2+2x)dx
= +x2+C
《公式まとめ》
(1)　nが正の整数のとき

(2) 定数ｋの積分は

※(1)式にn=0の場合も含めると(2)は(1)の特別な場合になるが，見かけが違うので，別に覚えた方が間違いが少ない．

，
のとき，
(3)
(4)
(5)
　次の不定積分を求めてください．なお，積分定数はCで表すものとします．
　（選択肢をクリックすれば，採点結果と解説が出ます．見ているだけでは解説は出ません．）
(1)
　
(2)
　
(3)
　
(4)
　
(5)
　
(6)
　
(7)
　
(8)
　

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