数学Ⅱ・微分積分

【高校数学の目次】 《数学Ⅰ・Ａ》 • 数と式　 • 根号計算 　• 場合の数.順列.組合せ 　• 確率　 • ２次関数　• ２次不等式　 • 集合・命題・条件・証明 　• 正弦定理,余弦定理 《数学Ⅱ・Ｂ》 • 指数関数.対数関数　 • 微分・積分　 《高校数学Ⅱ / 微分･積分の目次》　　　 が現在地 • 平均変化率　 • 極限値，不定形の極限　 • 導関数の定義 　 • 接線の方程式　 • 導関数の符号の求め方　 • 3次関数のグラフ（微分以前） 　 • (問題)平均変化率，関数の極限，極限値から定数を求める問題 　 • (問題)微分係数，導関数の定義　 • (問題)導関数の公式　 • (問題)増減と極値　 • (問題)最大最小,グラフと係数の符号,実数解の個数　 • センター試験.数Ⅱ微積(2013～)　 • 不定積分（数学II.多項式）　 • 不定積分2（展開）　 • 変数 t, y, r　 • 積分定数の決定　 • 定積分　 • 定積分の基本計算　 • 面積の求め方　 • 絶対値付きの定積分(1)　 • 絶対値付きの定積分(2)（数学Ⅱ，入試問題）　 • 曲線で囲まれた図形の面積　 • 立体の体積　 • 定積分で定義される関数　 ♪♥ この教材は，高校数学の基本問題のうち，絶対値付きの定積分（数学Ⅱ，入試問題）の「マイナーチェンジありカバー版」「広告なし」「パソコン用」ページです． ♫♣ 元の教材が通信トラブルなどで読めないときに，こちらを使ってください．なお，学習の記録は付いていません．

== 絶対値付きの定積分（数学Ⅱ，入試問題） == 【例題1】 　定積分の値を求めよ． （2011年度九州歯科大） （解説） ■絶対値付き関数の積分を求めるには，「場合分けにより絶対値を外してから積分する」のが基本 ■『気長に』『愚直に』やるべし･･･正直者が報われる ■「楽な方法」「近道，裏技」はない･･･迷いの時間が無駄 だから，とのグラフは右図の通り． ア）−1≦x<0のとき イ）0≦x<1のとき ウ）1≦x<2のとき ア)イ)ウ）より ･･･（答）

（閑談） 高校数学Ⅰ，Ⅱの答案で，場合分けは「漏れなく」「重複なく」行うのが基本で，「重複がある」ような場合分けは，めったにないが，定積分については という「重要公式」に示されるように，つなぎ目のは，左にも右にも入っている． すなわち ア） a≦x≦cのときf(x)=f1(x) イ） c≦x≦bのときf(x)=f2(x) のように書かれ，コウモリ軍団cは，左側の区間にも，右側の区間にも入っていることになる．（教科書や参考書では，ア）イ）のように書かれる．） 　しかし，次の公式があるので，結果的には，矛盾はない． これにより a≦x<c c≦x≦b という解釈ができる！ （ペラペラの皮を１枚はがすと（）となって，コウモリ軍団は，鳥軍団の専属だと解釈できる．）

【類題1.1】　 　定積分を求めよ． （2016年度北海学園大 工学部） ［解答を見る］ だから ア） 0≦x≦2のとき イ） 2≦x≦4のとき ア）イ）より ･･･（答） （閑談） 　間違って「６分の公式」を使わないように！ 　いわゆる「６分の公式」が使えるのは，右図のように「交点から交点までの閉じた図形」になっている場合に限る! 　類題1は，閉じた図形でないから「６分の公式」は使えない． ** 気を付けよう！甘い言葉と暗い道！ ** →閉じる←

【類題1.2】　 　定積分を求めよ． （2005年度甲南大理工学部） ［解答を見る］ だから ア） 0≦x≦1のとき イ） 1≦x≦2のとき ア）イ）より ･･･（答） →閉じる←

【類題1.3】　 　関数について，次の問いに答えよ． (1)　方程式の解を求めよ． (2)　関数のグラフをかけ． (3)　関数のグラフとx軸とで囲まれた部分の面積を求めよ． （2016年度新潟大） ［解答を見る］ (1) ･･･（答） (2)　右図（赤線） (3) 左右対称だからx≧0の部分の面積を求めて，２倍する ア） 0≦x<1のとき イ） 1≦x<2のとき ウ） 2≦x<のとき ア）イ）ウ）より ･･･（答） →閉じる←

【類題1.4】　 　xy平面上で，y=xのグラフとのグラフによって囲まれる図形の面積を求めよ． （2011年度京都大理科系） ［解答を見る］ −2≦x<2のとき との交点は ア）−2≦x<のとき この計算は，「いわゆる６分の公式」でできる． イ）≦x<2のとき ウ）2≦xのとき との交点は アイウ）より ･･･（答） →閉じる←

【例題2】 =ウエ （2005年度早稲田大商学部） （解説） ■複数個の絶対値記号を 外すには ⇒　区切り目を並べて，細かく場合分けする そこで ア）−2≦x<−1のとき イ）−1≦x<0のとき ウ）0≦x<1のとき エ）1≦x<2のとき アイウエ）より ･･･（答）

【類題2.1】　 　関数f(x)をによって定める． (1) f(x)の絶対値記号をはずせ． (2) y=f(x)のグラフをかけ． (3) y=f(x)のグラフとのグラフとで囲まれる部分の面積Sを求めよ． （2016年度中央大法学部） ［解答を見る］ (1) ア）のとき イ）のとき ウ）のとき エ）のとき オ）のとき ･･･（答） (2) グラフは右図の通り (3) 図形はx=1に関して対称だから，x≧1の部分の面積を求めて２倍する ･･･（答） →閉じる←

【例題3】 　1≦x≦2とする．関数を最小にするxの値を求めよ． （2016年度愛媛大農学部・教育学部） （解説） ア）1≦t<xのとき，t−x<0だから |t−x|=x−t イ）x≦t<2のとき，t−x>0だから |t−x|=t−x

1 ･･･ ･･･ 2 − 0 + 表により，のとき最小になる･･･（答）

【類題3.1】　 　0<k<3のとき，直線y=kxと曲線y=|x(x−3)|とで囲まれた図形の面積が最小となるようなkの値を求めよ． （2005年度東京学芸大） ［解答を見る］ ア） 0≦x<3のとき， |x(x−3)|=−x(x−3)だから −x(x−3)=kxならば x(x−k+3)=0 x=0, 3−k イ） 3≦xのとき， |x(x−3)|=x(x−3)だから x(x−3)=kxならば x=3+k (≧3) （←いわゆる「6分の公式」） とおくと 0 ･･･ ･･･ 3 − 0 + 最小 表により，のとき最小になる･･･（答） （参考）最小となる場合，右図の増加分と減少分が等しくなる． 扇形の面積は（中心角が同じならば）半径の２乗に比例するから →閉じる←

【類題3.2】　 　f(x)をとする． ただし，x≧0とする． 　関数y=f(x)のグラフとx軸，x=1, x=4で囲まれる 部分の面積は ナ 　　 ニ 　　 である． （2016年度早稲田大人間科学部） ［解答を見る］ ア） 0≦x<2のとき， |t−2|=2−tだから イ） 2≦xのとき， 　右図の面積は ･･･（答） →閉じる←

【類題3.3】　 (1)　aを任意の実数とするとき，y=x|a−x|のグラフをかけ． (2)　としたとき，f(x)の最小値を求めよ． （2005年度公立はこだて未来大） ［解答を見る］ (1) ア）　x<aのとき，y=x(a−x) イ）　a≦xのとき，y=x(x−a) a<0のとき図1，a=0のとき図2，0≦aのとき図3 －図1－ －図2－ －図3－ (2) 　(1)において，a=1の場合を考えると ア）　x<1のとき，−1≦t≦x (<1)であるどのtについても，t<1が成り立つから イ）　1≦xのとき −1≦t<1であるどのtについても，t<1 1≦t≦xであるどのtについても，1≦tであるから ア）の場合， イ）の場合， x ･･･ 0 ･･･ 1 ･･･ f’(x) − 0 + 0 + f(x) 　 　表により，x=0のとき，最小値をとる･･･（答） →閉じる←

【類題3.4】　 0<t<1を満たすtに対し, とおく．このとき，次の設問に答えよ． (1)　f(t)を求めよ． (2)　f(t)を最小にするtの値を求めよ． （2005年度岡山理科大） ［解答を見る］ (1) 0<t<1<t+1<2だから （途中計算略） (2) の解は， 0<t<1だから t 0 ･･･ ･･･ 1 f’(t) − 0 + f(t) 最小 　ゆえに，f(t)を最小にするtの値は･･･（答） →閉じる←