微分法(数学Ⅱ/教科書レベル基本問題2)
【高校数学の目次】
《数学Ⅰ・A》
数と式  • 根号計算  • 場合の数.順列.組合せ  • 確率  • 2次関数 • 2次不等式  • 集合・命題・条件・証明  • 正弦定理,余弦定理
《数学Ⅱ・B》
指数関数.対数関数  • 微分・積分 
《高校数学Ⅱ / 微分・積分の目次》    が現在地
平均変化率  • 極限値,不定形の極限  • 導関数の定義   • 接線の方程式  • 導関数の符号の求め方  • 3次関数のグラフ(微分以前)   • (問題)平均変化率,関数の極限,極限値から定数を求める問題   • (問題)微分係数,導関数の定義  • (問題)導関数の公式  • (問題)増減と極値  • (問題)最大最小,グラフと係数の符号,実数解の個数  • センター試験.数Ⅱ微積(2013~)  • 不定積分(数学II.多項式)  • 不定積分2(展開)  • 変数 t, y, r  • 積分定数の決定  • 定積分  • 定積分の基本計算  • 面積の求め方  • 定積分と面積(1)   • 発展学習:定積分と面積(2)   • 曲線で囲まれた図形の面積  • 絶対値付きの定積分(1)  • 絶対値付きの定積分(2)(数学Ⅱ,入試問題)  • 立体の体積  • 定積分で定義される関数  
※この教材は,高校数学の基本問題の中の微分係数の定義,導関数の定義のページを作り直したものです.

==微分法(数学Ⅱ/教科書レベル基本問題2)==
《微分係数の定義,導関数の定義》
【微分係数】
 関数f(x)x=aにおける極限値を,次の極限値で定義する.
・・・(#1)
次の形で書かれることもある.
・・・(#2)
・・・(#3)
【例題1】
 関数f(x)=x2について,定義に従ってx=1における微分係数の値を求めてください.
(解答)


・・・(答)
• 微分法の公式を習えば,となるので,直ちにが求められるが,答案にそのように書けば零点になります.すなわち,「定義に従って微分係数を求めよ」という問題では,定義に従って求めていなければ解答になりません.
• 上記の(#2)(#3)の方法で求めてもよいが,変数hを用いた(#1)の書き方が「見やすく」「間違いにくい」ようです.
• 空欄を「半角数字(1, 2, 3 など)」「半角英小文字」(a, b, c など)で埋めて,採点ボタンを押してください.
• 採点すれば採点結果と解説が出ます.見ているだけでは解説は出ません.
【問題1-1】
 f(x)=x2+3xについて,定義に従ってx=2における微分係数の値を求めてください.
f(1)=
採点する
【問題1-2】
 f(x)=x3について,定義に従ってx=−1における微分係数の値を求めてください.
f(−1)=
採点する
【問題1-3】
 f(x)=x2+2xについて,定義に従ってx=aにおける微分係数の値を求めてください.
f(a)=a+
採点する

【例題2】
 関数f(x)x=aにおいて微分係数f(a)をもつとき,次の極限値をa, f(a), f(a)を用いて表してください.

(解答)

ここで,とおくと,のとき,となるから
(原式)…(答)
• 空欄を「半角数字(1, 2, 3 など)」「半角英小文字」(a, b, c など)で埋めて,採点ボタンを押してください.
• 採点すれば採点結果と解説が出ます.見ているだけでは解説は出ません.
【問題2-1】
 関数f(x)x=aにおいて微分係数f(a)をもつとき,次の極限値をa, f(a), f(a)を用いて表してください.

=f(a)+f(a)
採点する
【問題2-2】
 関数f(x)x=aにおいて微分係数f(a)をもつとき,次の極限値をa, f(a), f(a)を用いて表してください.

=f(a)
採点する
【問題2-3】
 関数f(x)x=a(ただし,a≠0とする)において微分係数f(a)をもつとき,次の極限値をa, f(a), f(a)を用いて表してください.

=
f(a)
1
f(a)


採点する
【導関数】
 関数f(x)の導関数f(x)を,次の極限値で定義する.
・・・(#1)
次の形で書かれることもある.
・・・(#2)
※関数y=f(x)の導関数は,の他,
などと書かれることもある.
※関数y=f(x)の導関数は,関数y=f(x)の微分とも呼ばれる.
 導関数(微分)を表す記号のうちで,は小中学校以来習ってきた普通の分数とは異なり,xの増分をΔxyの増分f(x+Δx)−f(x)Δyで表したときの
という極限値の省略記号なので,dを約分することなどできないことに注意.
も同様
微分係数の定義

と導関数の定義

は,同じ形の式ですが,微分係数のaが定数であるのに対して,導関数のxは変数なので,f(x)を求めてからxの値を変化させることができる.
 ただし

の計算において,limの中で,hを変化させて極限値を求めるときは,hだけが変化し,xは変化しません.f(x)が決まってからはxの値を変化させることができる.
【例題3】
 定義に従って,関数f(x)=x2の導関数を求めてください.
(解答)


・・・(答)
• 微分法の公式を習えば,直ちにが求められるが,答案にそのように書けば零点になります.すなわち,「定義に従って導関数を求めよ」という問題では,定義に従って求めていなければ解答になりません.
【問題3-1】
 定義に従って,関数f(x)=x3の導関数を求めてください.
解説を読む  数学Ⅱでは,分数関数の導関数を普通は扱いませんが,定義に従えば数学Ⅱの範囲でも求めることができます.
【問題3-2】
 定義に従って,関数の導関数を求めてください.
解説を読む

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