数学Ⅱ・微分積分

【高校数学の目次】 《数学Ⅰ・Ａ》 • 数と式　 • 根号計算 　• 場合の数.順列.組合せ 　• 確率　 • ２次関数　• ２次不等式　 • 集合・命題・条件・証明 　• 正弦定理,余弦定理 《数学Ⅱ・Ｂ》 • 指数関数.対数関数　 • 微分・積分　 《高校数学Ⅱ / 微分･積分の目次》　　　 が現在地 • 平均変化率　 • 極限値，不定形の極限　 • 導関数の定義 　 • 接線の方程式　 • 導関数の符号の求め方　 • 3次関数のグラフ（微分以前） 　 • (問題)平均変化率，関数の極限，極限値から定数を求める問題 　 • (問題)微分係数，導関数の定義　 • (問題)導関数の公式　 • (問題)増減と極値　 • (問題)最大最小,グラフと係数の符号,実数解の個数　 • センター試験.数Ⅱ微積(2013～)　 • 不定積分（数学II.多項式）　 • 不定積分2（展開）　 • 変数 t, y, r　 • 積分定数の決定　 • 定積分　 • 定積分の基本計算　 • 面積の求め方　 • 定積分と面積(1) 　 • 発展学習:定積分と面積(2) 　 • 曲線で囲まれた図形の面積　 • 絶対値付きの定積分(1)　 • 絶対値付きの定積分(2)（数学Ⅱ，入試問題）　 • 立体の体積　 • 定積分で定義される関数

※この教材は，高校数学の基本問題の中の接線の方程式のページを作り直したものです．

◇解説◇ ○　接線の方程式は，いままでに習った２つの公式の組合わせでできます。 点 (a，b) を通り，傾き m の直線の方程式は 　　y−b = m(x−a) 　･･･　(1)　(数I) y= f(x) の x = a における接線の傾きは 　　m = f'(a)　　　　･･･　(2)　(数II) 関数 y= f(x) 上の点( a, f(a) ) における接線の方程式は 　　　 　y−f(a) = f'(a)(x−a) (a が定まればf(a), f'(a)が定まるので，方程式が定まります。) −−−−−−−− ○　法線の方程式 　点 (a，b) を通り接線に垂直な直線を，点 (a，b) における法線といいます。 　法線は接線と垂直だから，その傾きは−･･･(3) 　関数 y= f(x) 上の点( a, f(a) ) における法線の方程式は 　　　 　y−f(a) = −(x−a)

(解説図) −−−−−−−− 　接線の傾きが m = f’(a) であるとき，これに垂直な法線の傾きは，二直線の垂直条件 mm’=−1 から求めることができます。 　すなわち，法線の傾きを m’ とすると， m’f’(a) = −1 より m’ =−(ただし, f’(a) ≠ 0)

■例題 (1) y = x2 上の点 (1, 1) における接線の方程式 　　y’= 2x だから x = 1 のとき y’= 2 　　y−1 = 2(x−1) 　　y = 2x−1　･･･答 y = x2 上の点 (1, 1) における法線の方程式 　　法線の傾きは m’=− 　　y−1 =−(x−1) 　　y =−x+　･･･答 (2) y = x2−2x における傾き −4 の接線の方程式 　　考え方　：　f'(a) → a → f(a) の順に求めます。 　　　　 　　y’= 2x−2 =−4 を解いて x =−1 　　このとき，y = 3 　　y−3 =−4 (x+1) 　　y =−4x −1　･･･答

(3) 点 (0,−2) から 曲線 y = x3 へ引いた接線の方程式 【　考え方　】 (A)××　与えられた点 (0,−2) を通る直線の方程式を立てて，それが曲線に接する条件を求める方法　→　判別式の問題となり２次関数の場合しか解けない(よくない) 　　実演：点 (0,−2) を通る直線の方程式は， 　　y+2 = m(x−0) → y = mx−2 　　この直線が，曲線 y = x3 と接するための傾き m の条件を求める。 　→　x3 = mx−2 が重解をもつ条件??　２次関数でないので判別式は使えない?? 後の計算が大変 −−−−−−−− (B)◎◎　まず接線の方程式を立て，その中で与えられた点 (0,−2) を通るような接点を求める方法　→　（よい） 　　実演：接点の座標を (p, p3) とおくと，接線の方程式は 　　y−p3 = 3p2(x−p) 　　この直線が点 (0,−2) を通るには -2−p3 = 3p2(-p) 　　p3 = 1 　　p = 1　(実数) 　　このとき，接線の方程式は y−1 = 3(x−1) 　　y = 3x−2　･･･　答

問題

答案

(1) y = 2x2+3x 上の点 (1, 5) における接線の方程式を求めなさい。	y’= 4x+3　→　x = 1 のとき，y’= 7 接線の方程式は y−5 = 7(x−1) y = x−
(2) y =−x2+2 上の点 (−1, 1) における法線の方程式を求めなさい。	y’=−2x　→　x = -1 のとき,y’= 2 これに垂直な法線の傾きは − 法線の方程式は y−1 =−(x+1) y =− 1 x+ 1
(3) 点 (1,−3) を通り，曲線 y = x2 に接する直線の方程式を求めなさい。	y’= 2x だから，接点の座標を (p, p2) とおくと，接線の方程式は, y−p2 = 2p(x−p) この直線が点 (1,−3) を通るから，−3−p2 = 2p(1−p) p2−2p−3 = 0　を解いて，p = 3, -1 p = 3 のとき，接線の方程式は y−9 = 6(x−3) p =−1 のとき，接線の方程式は y−1 =−2(x+1) y = x−9 y =−x−1
(4) y = 2x3+3x2 の接線で傾きが 12 となるものを求めなさい。	y’= 6x2+6x だから，6x2+6x = 12 を解く x2+x−2 = 0 より x = -2, 1 x = -2 のとき y = -4, (y’= 12) → y+4 = 12(x+2) x = 1 のとき y = 5, (y’= 12) → y−5 = 12(x−1) y = 12x+ y = 12x−

■問題2　･･･　所要時間の目安=(1)は分数計算が大変。(2)はすぐできます。

問題

答案

◇共通接線の方程式◇ 　２つの曲線の共通接線は，次の図Ａのように２曲線が１点で接している場合と，図Ｂのように接線が各々の曲線と異なる点で接している場合があります。図Ａは図Ｂにおいて， p = q となる場合なので，問題を解くときは，図Bを想定して，２つの接線の方程式を立て，それらが一致する条件を求めればよい。 Ａ Ｂ (1) y = x3−x と y = x2−x の共通接線の方程式を求めなさい。	（※　計算量はやや多い方） y = x3−x 　→　 y’= 3x2−1 →　接点のx座標をpとおくと,接線の方程式は y−(p3−p)= (3p2−1)(x−p) y = (3p2−1)x−2p3　･･･(1) y = x2−x 　→　 y’= 2x−1 →　接点のx座標をqとおくと,接線の方程式は y−(q2−q)= (2q−1)(x−q) y = (2q−1)x−q2　･･･(2) (1)(2)が一致するには 3p2−1 = 2q−1　･･･(3) → 3p2=2q −2p3 =−q2　･･･(4) → 2p3=q2 (3)からを(4)に代入して，連立方程式を解く したがって p=0, q=0･･･(5) p=, q=･･･(6) 以上から， 　y =−x･･･答 y= x− ･･･答 ↑↑コテコテの分数計算．2桁/2桁と4桁/3桁 ～♥♠♣♪♭♫もう大変
−−−−−−−− ◇２曲線が接する条件◇ 　２曲線y=f(x), y=g(x)が接するときは，上の図Ａのようになり，あるxの値aについて，f(a)=g(a), f'(a)=g'(a)が成り立ちます。 (2) ２曲線 y = x3, y = x2+k が接するように定数 k の値を定めなさい。	y = x3　→　y’= 3x2 y = x2+k　→　y’= 2x 接点の x 座標を x = a とおくと a3 = a2+k 3a2 = 2a　を解くと a = 0 このとき k = 0　･･･　答 a= このとき， k =− ･･･答