数学Ⅱ・微分積分

導関数の符号の求め方

【高校数学の目次】《数学Ⅰ・Ａ》
• 数と式　 • 根号計算　• 場合の数.順列.組合せ　• 確率　 • ２次関数　• ２次不等式　 • 集合・命題・条件・証明　• 正弦定理,余弦定理
《数学Ⅱ・Ｂ》
• 指数関数.対数関数　 • 微分・積分　

《高校数学Ⅱ / 微分･積分の目次》　　　が現在地 • 平均変化率　 • 極限値，不定形の極限　 • 導関数の定義　 • 接線の方程式　 • 導関数の符号の求め方　 • 3次関数のグラフ（微分以前）　 • (問題)平均変化率，関数の極限，極限値から定数を求める問題　 • (問題)微分係数，導関数の定義　 • (問題)導関数の公式　 • (問題)増減と極値　 • (問題)最大最小,グラフと係数の符号,実数解の個数　 • センター試験.数Ⅱ微積(2013～)　 • 不定積分（数学II.多項式）　 • 不定積分2（展開）　 • 変数 t, y, r　 • 積分定数の決定　 • 定積分　 • 定積分の基本計算　 • 面積の求め方　 • 定積分と面積(1) 　 • 発展学習:定積分と面積(2) 　 • 曲線で囲まれた図形の面積　 • 絶対値付きの定積分(1)　 • 絶対値付きの定積分(2)（数学Ⅱ，入試問題）　 • 立体の体積　 • 定積分で定義される関数　

※この教材は，高校数学の基本問題の中の導関数の符号の求め方のページを作り直したものです．

■導関数の符号の求め方
==解説==
※この頁で扱うのは１つの完結した問題ではなく，次の手順の内で赤で示した部分に絞った練習です．

元の関数yが与えられる
→y’を求める
→y’の符号を決める
→yの増減を矢印で表す

【例1】
y=2x3+3x2−12x+1のとき
y’=6x2+6x−12=6(x+2)(x−1) …(A)
となるので，このy’の符号をxの値に応じて定めることにより，次のような増減表を作ることができます．

x	…	−2	…	1	…
y’	+	0	−	0	+
y	↗	極大	↘	極小	↗

　この頁では上の手順のうちで赤で示した部分に絞って，y’の符号を求める練習を行います．

以下において元の関数yや増減表の中でのyの矢印は省略します．

≪考え方1≫

y’の式からy’の符号を求めるために
y’のグラフを描く方法

　上の式(A)ではy’の最高次の項の係数が正（6）なので，y’のグラフは右図のようになります．
（このグラフはyのグラフではなくy’のグラフである点に注意．yのグラフはこの図とは異なります．）
　このグラフにより，y’の符号は
+| 0 |−| 0 |+ のように定まります．

≪考え方2≫

y’の式から直接y’の符号を求める方法

　上の式(A)ではy’の最高次の項の係数が正（6）なのでxが十分大きな値のとき，y’=6(x+2)(x−1)のすべての因数が正になります．

6は正
x+2は正（x+2はx=−2のとき0，xがそれより大きければ正になります．）
x−1は正（x−1はx=1のとき0，xがそれより大きければ正になります．）

　そこで，右側から順に符号を埋めて行き，0となる所で符号が変わるようにするとy’の符号が定まります．

※もし，y’=6(x+2)(x−1)2のようにx−1の因数が二重解の形になっているときは，x=1の所で２回変わると考えます．

※もし，y’=6(x+2)2(x−1)のようにx+2の因数が二重解の形になっているときは，x=−2の所で２回変わると考えます．

※もし，y’=6(x+2)3(x−1)のようにx+2の因数が三重解の形になっているときは，x=−2の所で３回変わると考えます．

【例2】
y’=−2(x+2)(x−1)(x−3)のとき …(B)
≪考え方1≫

y’の式からy’の符号を求めるために
y’のグラフを描く方法

　式(B)ではy’の最高次の項の係数が負（−2）なので，y’のグラフは右図のようになります．
（このグラフはyのグラフではなくy’のグラフである点に注意．yのグラフはこの図とは異なります．）
　このグラフにより，y’の符号は
+| 0 |−| 0 |+| 0 |− のように定まります．

≪考え方2≫

y’の式から直接y’の符号を求める方法

　式(B)ではy’の最高次の項の係数が負（−2）なのでxが十分大きな値のとき，y’=−2(x+2)(x−1)(x−3)の因数のうち−2だけが負で他はすべて正になります．