数学Ⅱ・微分積分

定積分の計算

【高校数学の目次】《数学Ⅰ・Ａ》
• 数と式　 • 根号計算　• 場合の数.順列.組合せ　• 確率　 • ２次関数　• ２次不等式　 • 集合・命題・条件・証明　• 正弦定理,余弦定理
《数学Ⅱ・Ｂ》
• 指数関数.対数関数　 • 微分・積分　

《高校数学Ⅱ / 微分･積分の目次》　　　が現在地 • 平均変化率　 • 極限値，不定形の極限　 • 導関数の定義　 • 接線の方程式　 • 導関数の符号の求め方　 • 3次関数のグラフ（微分以前）　 • (問題)平均変化率，関数の極限，極限値から定数を求める問題　 • (問題)微分係数，導関数の定義　 • (問題)導関数の公式　 • (問題)増減と極値　 • (問題)最大最小,グラフと係数の符号,実数解の個数　 • センター試験.数Ⅱ微積(2013～)　 • 不定積分（数学II.多項式）　 • 不定積分2（展開）　 • 変数 t, y, r　 • 積分定数の決定　 • 定積分　 • 定積分の基本計算　 • 面積の求め方　 • 定積分と面積(1) 　 • 発展学習:定積分と面積(2) 　 • 曲線で囲まれた図形の面積　 • 絶対値付きの定積分(1)　 • 絶対値付きの定積分(2)（数学Ⅱ，入試問題）　 • 立体の体積　 • 定積分で定義される関数　

♪♥ この教材は，高校数学の基本問題のうち，定積分の「マイナーチェンジありカバー版」「広告なし」「パソコン用」ページです．
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== 定積分 == ○　図１の面積Ｓのような曲線で囲まれた図形の面積を直接求めるのは難しい。

１

　そこで，面積Ｓを直接求める代わりにＳの微分から求めることを考える。（微分が分かれば元の関数は不定積分で求まる。）

２

○　図２のように区間の左端をaに固定しておき、右端の座標をｘとすると，囲まれる図形はｘの関数 S(x)となる。最終的に求めるものはS(b)

○　関数y=f(x)が増加関数の場合，増分ΔSの大きさは，小さな長方形と大きな長方形の間にあるから

f(x)Δx＜ΔS＜f(x+Δx)Δx
ゆえに

（この結果はf(x)が増加関数でなくても成り立つ）

以上より
$S\apos (x)=f(x)$ となるから
$S(x)=\int f(x)dx$
$f(x)$ の１つの原始関数を $F(x)$ とおくと
$S(x)=F(x)+ C$ …(1)
ここで $S(a)=0$ だから
$S(a)=F(a)+ C=0$
$C=-F(a)$ …(2)
(2)を(1)に代入すると
$S(x)=F(x)-F(a)$
求める面積は
$S=S(b)=F(b)-F(a)$

　定積分の定義　 $F^{\tiny{\prime}}(x)=f(x)$ すなわち $F(x)=\int f(x)dx$ のとき
$\underset{a}{\int^b}f(x)dx=\big[F(x)\big]_a^b=F(b)-F(a)$
を，f(x)の区間a≦x≦bにおける定積分という．

【備考】 ※ここでは面積を求めることを導入の話題として定積分の定義を紹介した。実際には，定積分が面積を表わすのは，y=f(x)のグラフがx軸よりも上にある場合で，x軸よりも下の箇所があれば符号が変わる。このような面積の計算は別途取り扱う．

※初めて学ぶ人向けの注意※
■　そのまま代入して引くのでなく，(１つの)原始関数(不定積分のCを取ったもの)に代入して引くこと。
■　 F(上) - F(下)　の引く順序を間違わないこと。
■　不定積分に登場する定数Cは定積分では不要：
(F(b)+C)−(F(a)+C)としても，引くと消えるのでF(b)−F(a)となり同じになる．Cがない方がよい。
■　不定積分については，次の公式を使う。

$\int x^ndx=\frac{x^{n+ 1}}{n+ 1}+ C$ （nは正の整数）

$\int x^ndx=\frac{1}{n+ 1}x^{n+ 1}+ C$
と書くこともあります．（同じことを表しています）

【例1】
$\underset{^1}{\int}^2 x dx$

（答案）

(1) まず，１つの原始関数を求めます（Ｃ＝０の形でよい）
⇒ この問題では $\int xdx=\frac{x^2}{2}+ 0$
(2) 次に，その原始関数に上端の値，下端の値を代入して引きます．
⇒ $\frac{4}{2}-\frac{1}{2}$

$\underset{^1}{\int}^2 x dx=\Bigl[ \frac{x^2}{2}\Bigr]_1^2=\frac{4}{2}-\frac{1}{2}=\frac{3}{2}$

【例2】
$\underset{^0}{\int}^2 x dx$

（答案）

(1) まず，１つの原始関数を求めます（Ｃ＝０の形でよい）
⇒ この問題では $\int x^2 dx=\frac{x^3}{3}+ 0$
(2) 次に，その原始関数に上端の値，下端の値を代入して引きます．
⇒ $\frac{8}{3}-\frac{0}{3}$

$\underset{^0}{\int}^2 x dx$ $=\Bigl[ \frac{x^3}{3}\Bigr]_0^2=\frac{8}{3}-\frac{0}{3}=\frac{8}{3}$

【例3】
$\underset{^{-1}}{\int}^1(2x-3)dx$

（答案）

(1) まず，１つの原始関数を求めます（Ｃ＝０の形でよい）
⇒ この問題では
$\int (2x-3) dx=x^2-3x+ 0$
(2) 次に，その原始関数に上端の値，下端の値を代入して引きます．
⇒ $(1-3)-(1+ 3)$

$\underset{^{-1}}{\int}^1(2x-3)dx$ $=\Bigl[ x^2-3x\Bigr]_{-1}^1$
$=(1-3)-(1+ 3)=-6$
※定積分は，面積に対応していることが多いが，ｘ軸との上下関係を考慮せずに単純に計算した場合，負の値になることもある．
　この頁では，「定積分は計算式」として扱い，負の値になっても気にしないことにする．

【例4】
$\underset{^{0}}{\int}^1(x^2-5) dx$

（答案）

(1) まず，１つの原始関数を求めます（Ｃ＝０の形でよい）
⇒ この問題では
$\int (x^2-5) dx=\frac{x^3}{3}-5x+ 0$
(2) 次に，その原始関数に上端の値，下端の値を代入して引きます．
⇒ $(\frac{1^3}{3}-5)-(0-0)$

$\underset{^{0}}{\int}^1(x^2-5) dx$ $=\Bigl[ \frac{x^3}{3}-5x\Bigr]_0^1$
$=(\frac{1^3}{3}-5)-(0-0)=-\frac{14}{3}$

【問題１】　次の定積分を求めてください．（選択肢の中から正しいものを１つクリック）

(1)
$\underset{^{0}}{\int}^2 3dx$

解説やり直す

$1$ $2$ $3$ $6$

$\underset{^{0}}{\int}^2 3dx=\big[3x\big]_0^2=6-0=6$ …（答）

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(2)
$\underset{^{1}}{\int}^2 xdx$

解説やり直す

$1$ $\frac{3}{2}$ $2$ $\frac{5}{2}$

$\underset{^{1}}{\int}^2 xdx=\big[\frac{x^2}{2}\big]_1^2=2-\frac{1}{2}=\frac{3}{2}$ …（答）

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(3)
$\underset{^{-1}}{\int}^2 3x^2dx$

解説やり直す

$6$ $7$ $8$ $9$

$\underset{^{-1}}{\int}^2 3x^2dx=\big[x^3\big]_{-1}^2=8-(-1)=9$ …（答）

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(4)
$\underset{^{0}}{\int}^1 x^3dx$

解説やり直す

$\frac{1}{2}$ $\frac{1}{3}$ $\frac{1}{4}$ $\frac{3}{4}$

$\underset{^{0}}{\int}^1x^3dx=\big[\frac{x^4}{4}\big]_0^1=\frac{1}{4}-0=\frac{1}{4}$ …（答）

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【問題２】　次の定積分を求めてください．（選択肢の中から正しいものを１つクリック）

(1)
$\underset{^{1}}{\int}^2 (3x^2-2)dx$

解説やり直す

$2$ $3$ $4$ $5$

$\underset{^{1}}{\int}^2 (3x^2-2)dx=\big[x^3-2x\big]_1^2=(8-4)-(1-2)=5$ …（答）

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(2)
$\underset{^{0}}{\int}^3(2x-5)dx$

解説やり直す

$-6$ $-5$ $-4$ $-3$

$\underset{^{0}}{\int}^3(2x-5)dx=\big[x^2-5x\big]_0^3=(9-15)-(0)=-6$ …（答）

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(3)
$\underset{^{1}}{\int}^2(x^3-2x)dx$

解説やり直す

$\frac{1}{4}$ $\frac{2}{3}$ $\frac{3}{4}$ $\frac{4}{3}$

$\underset{^{1}}{\int}^2(x^3-2x)dx=\big[\frac{x^4}{4}-x^2\big]_1^2=(\frac{16}{4}-4)-(\frac{1}{4}-1)$
$=\frac{3}{4}$ …（答）

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(4)
$\underset{^{-1}}{\int}^1(x^2-x+ 1)dx$

解説やり直す

$\frac{5}{3}$ $\frac{8}{3}$ $\frac{10}{3}$ $\frac{11}{3}$

$\underset{^{-1}}{\int}^1(x^2-x+ 1)dx=\big[\frac{x^3}{3}-\frac{x^2}{2}+ x\big]_{-1}^1$
$=(\frac{1}{2}+ 1)-(-\frac{1}{3}-\frac{1}{2}-1)=\frac{8}{3}$ …（答）

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（参考）

wxMaximaを使って積分計算の検算を行う方法

(1) wxMaximaを起動すると，画面には何も書かれていない．入力行を作るためにEnterキーを空打ちする．
(2) 例えば
$\int_{1}^2 (x^2-2x) dx$
の問題について

i) 不定積分（原始関数）の形を確かめるには
メニュー画面から，微積分→積分と選び，関数の欄に x^2-2*x と書き込む
（2x ではなく 2*x と書く←間違いやすい）
OKボタンをクリック
⇒ $\frac{x^3}{3}-x^2$ になる

ii) さらに，区間 1≦x≦2 の定積分を求めるには
上記の入力欄 %i1 などにカーソルを合わせて，第３引数の1と第４引数の2を追加する
integrate(x^2-2*x, x,1,2);
としてから，Shift+Enter
⇒ $-\frac{2}{3}$ になる

※原始関数の形を確かめる必要がなければ，上記の手順を１つにまとめて
メニュー画面から，微積分→積分と選び，関数の欄に x^2-2*x と書き込み，
定積分の欄にチェックを入れる→下端 1，上端 2　としてOKボタンをクリック

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