数学Ⅱ・微分積分

定積分で定義される関数

【高校数学の目次】《数学Ⅰ・Ａ》
• 数と式　 • 根号計算　• 場合の数.順列.組合せ　• 確率　 • ２次関数　• ２次不等式　 • 集合・命題・条件・証明　• 正弦定理,余弦定理
《数学Ⅱ・Ｂ》
• 指数関数.対数関数　 • 微分・積分　

《高校数学Ⅱ / 微分･積分の目次》　　　が現在地 • 平均変化率　 • 極限値，不定形の極限　 • 導関数の定義　 • 接線の方程式　 • 導関数の符号の求め方　 • 3次関数のグラフ（微分以前）　 • (問題)平均変化率，関数の極限，極限値から定数を求める問題　 • (問題)微分係数，導関数の定義　 • (問題)導関数の公式　 • (問題)増減と極値　 • (問題)最大最小,グラフと係数の符号,実数解の個数　 • センター試験.数Ⅱ微積(2013～)　 • 不定積分（数学II.多項式）　 • 不定積分2（展開）　 • 変数 t, y, r　 • 積分定数の決定　 • 定積分　 • 定積分の基本計算　 • 面積の求め方　 • 絶対値付きの定積分(1)　 • 絶対値付きの定積分(2)（数学Ⅱ，入試問題）　 • 曲線で囲まれた図形の面積　 • 立体の体積　 • 定積分で定義される関数　

♪♥ この教材は，高校数学の基本問題のうち，定積分で定義される関数のマイナーチェンジありのカバー版です．
♫♣ 元の教材が通信トラブルなどで読めないときに，こちらを使ってください．なお，学習の記録は付いていません．

== 定積分で定義される関数 = 【用語】
〇関数 $x^2$ を $x$ で微分すると $2x$ になります．

$(x^2)\apos=2x$
これは次のように書かれることもあります．
$\frac{d}{dx}(x^2)=2x$

この場合のように，微分したら $2x$ になる元の関数 $x^2$ を $2x$ の原始関数と言います．

〇この他，関数 $x^2+ 1$ や $x^2+ 2$ などを $x$ で微分しても $2x$ になります．

$(x^2+ 1)\apos=2x$
$(x^2+ 2)\apos=2x$

$\cdots\hspace{3}\cdots$

〇このように，関数 $f(x)=2x$ が与えられたとき，微分して $2x$ になる元の関数 $F(x)$ は多数あり，

$x^2+ C$ （ $C$ は定数）

の形の関数を微分すると，いずれも $2x$ になります．
〇一般に関数 $f(x)$ が与えられたとき， $F\apos (x)=f(x)$ となるとき，それぞれの関数 $F(x)$ は $f(x)$ の１つの原始関数を表しますが，原始関数全体の集まりを表すには

$\int f(x)dx$

という記号を使い， $f(x)$ の不定積分と言います．
$f(x)$ の１つの原始関数を $F(x)$ とするとき

$\int f(x)dx=F(x)+ C$ （ $C$ は任意定数）

になります．

【まとめ】
〇 $F\apos(x)=f(x)$ のとき， $F(x)$ を $f(x)$ の１つの原始関数という．

≪例≫
$x^2$ は $2x$ の１つの原始関数

〇 $f(x)$ の原始関数全体の集合
$\int f(x)dx=F(x)+ C$ （ $C$ は任意定数）
を $f(x)$ の不定積分という．

≪例≫
$\int 2xdx=x^2+ C$
は $2x$ の不定積分

【定積分と微分の関係】
〇定積分は，原始関数を使って表されます．すなわち， $f(x)$ の１つの原始関数を $F(x)$ とするとき
$\int_a^b f(x)dx=\big[F(x)\big]_a^b=F(b)-F(a)$

　上で述べたように，原始関数は $F(x)+ C$ の形の関数で $C$ の値が何であってもよいのですが，
定積分の計算は引き算になるので
$\int_a^b f(x)dx=\big[F(x)+ C\big]_a^b$
$=\{F(b)+ C\}-\{F(a)+ C\}=F(b)-F(a)$
のように $C$ を付けていても「引き算で消えてしまいます」．
　そこで，不定積分の話をするときには，積分定数 $C$ を忘れないように！と教えておきながら，定積分の話をするときには $C=0$ の形，すなわち $C$ が付いていない形 $F(x)$ を使います．

よい子の皆さんに，なぜ無駄な $C$ を教えたんだよ～

定積分では $C$ は消えますが，他の場面ではよく使います． $C$ は無駄ではありません

〇定積分で定義される関数が表している内容を考えるには，原始関数を使って書き直すとよい．

【例１】
$a,\hspace{5}b$ を定数とするとき
$\frac{d}{dx}\int_a^b f(t)dt$
を求めるには

（解答）
$f(t)$ の１つの原始関数を $F(t)$ とおくと
$\int_a^b f(t)dt=\big[F(t)\big]_a^b=F(b)-F(a)$
ここで， $a,\hspace{5}b$ は定数だから， $F(b)-F(a)$ は定数．
定数を微分すると０になるから
$\frac{d}{dx}\int_a^b f(t)dt=\frac{d}{dx}\{F(b)-F(a)\}=0$ …（答）

【例２】
$a$ を定数とするとき
$\frac{d}{dx}\int_a^x f(t)dt$
を求めるには

（解答）
$f(t)$ の１つの原始関数を $F(t)$ とおくと
$\int_a^x f(t)dt=\big[F(t)\big]_a^x=F(x)-F(a)$
ここで
$\frac{d}{dx}F(x)=f(x),\hspace{5}\frac{d}{dx}F(a)=0$
だから
$\frac{d}{dx}\int_a^x f(t)dt=\frac{d}{dx}\{F(x)-F(a)\}=f(x)$

（参考）
　積分変数 $t$ と被積分関数 $f(t)$ が変数として対応していれば原始関数 $F(t)$ は求められます．
　定積分では，求めた原始関数 $F(t)$ に，積分区間の上端の値 $b$ と下端の値 $a$ を代入して引くので，結果として変数 $t$ は残りません．
　だから，問題が他の積分変数で」書かれていても，同じ答えになります．
$\frac{d}{dx}\int_a^x f(y)dy=\frac{d}{dx}\{F(x)-F(a)\}=f(x)$
　実は，積分変数と積分区間の上端が同じ文字 $x$ を使って問題が書かれていても，同じ結果になります．
$\frac{d}{dx}\int_a^x f(x)dx=\frac{d}{dx}\{F(x)-F(a)\}=f(x)$

これに対して，微分する変数と積分区間の上端が無関係な変数である場合
$\frac{d}{dx}\int_a^t f(x)dx=\frac{d}{dx}\{F(t)-F(a)\}$
において， $F(t)-F(a)$ は $x$ の関数ではないから，これを $x$ で微分すると０になります．
$\frac{d}{dx}\int_a^t f(x)dx=\frac{d}{dx}\{F(t)-F(a)\}=0$

【重要】
$a,\hspace{5}b$ を定数とするとき
(1) 定積分
$\int_a^x f(t)dt=F(x)-F(a)$
は，積分区間の上端 $x$ の関数になる．
　積分変数 $t$ の関数ではない．
(2) 定積分
$\int_t^b f(x)dx=F(b)-F(t)$
は，下端 $t$ の関数になる．
　積分変数 $x$ の関数ではない．

【例３】
$b$ を定数とするとき
$\frac{d}{dx}\int_x^b f(t)dt$
を求めるには

（解答）
$f(t)$ の１つの原始関数を $F(t)$ とおくと
$\int_x^b f(t)dt=\big[F(t)\big]_x^b=F(b)-F(x)$
ここで
$\frac{d}{dx}F(x)=f(x),\hspace{5}\frac{d}{dx}F(b)=0$
だから
$\frac{d}{dx}\int_x^b f(t)dt=\frac{d}{dx}\{F(b)-F(x)\}=-f(x)$

※次の問題は，上に述べた例とほぼ同じ内容です．
【問題１】　（選択肢の中から正しいものを１つクリック）

(1)
$a,\hspace{5}b$ を定数とするとき
$\frac{d}{dx}\int_a^b f(t)dt$
を求めてください．

解説やり直す

$0$ $f(x)$ $F(x)$ $f\apos (x)$

$f(t)$ の１つの原始関数を $F(t)$ とおくと
$\int_a^b f(t)dt=\big[F(t)\big]_a^b=F(b)-F(a)$
ここで， $a,\hspace{5}b$ は定数だから， $F(b)-F(a)$ は定数．
定数を微分すると０になるから
$\frac{d}{dx}\int_a^b f(t)dt=\frac{d}{dx}\{F(b)-F(a)\}=0$ …（答）

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(2)
$a$ を定数とするとき
$\frac{d}{dx}\int_a^x f(t)dt$
を求めてください．

解説やり直す

$0$ $f(x)$ $F(x)$ $f(t)$

$f(t)$ の１つの原始関数を $F(t)$ とおくと
$\int_a^x f(t)dt=\big[F(t)\big]_a^x=F(x)-F(a)$
ここで
$\frac{d}{dx}F(x)=f(x),\hspace{5}\frac{d}{dx}F(a)=0$
だから
$\frac{d}{dx}\int_a^x f(t)dt=\frac{d}{dx}\{F(x)-F(a)\}=f(x)$ …（答）

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(3)
$a$ を定数とするとき
$\frac{d}{dt}\int_t^a f(x)dx$
を求めてください．

解説やり直す

$f(x)$ $f(t)$ $-f(x)$ $-f(t)$

$f(x)$ の１つの原始関数を $F(x)$ とおくと
$\int_t^a f(x)dx=\big[F(x)\big]_t^a=F(a)-F(t)$
ここで
$\frac{d}{dt}F(t)=f(t),\hspace{5}\frac{d}{dt}F(a)=0$
だから
$\frac{d}{dt}\int_t^a f(x)dx=\frac{d}{dt}\{F(a)-F(t)\}=-f(t)$ …（答）

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(4)
$\frac{d}{dx}\int f(x)dx$
を求めてください．

解説やり直す

$f(x)$ $f(t)$ $-f(x)$ $-f(t)$

この問題は前３問と異なり，不定積分の微分です．不定積分は積分変数に依存する関数になることを注意するために出題したものです．
$f(x)$ の１つの原始関数を $F(x)$ とおくと
$\int f(x)dx=F(x)+ C$
だから
$\frac{d}{dx}\int f(x)dx=\frac{d}{dx}\{F(x)+ C\}=f(x)$ …（答）

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【例題１】

$\int_a^x f(t)dt=x^2-3x+ 2$ のとき，定数 $a$ の値及び関数 $f(x)$ を求めてください．

（解説）
$f(t)$ の１つの原始関数を $F(t)$ とおくと
$\int_a^x f(t)dt=\big[F(t)\big]_a^x=F(x)-F(a)$
ここで
$\frac{d}{dx}F(x)=f(x),\hspace{5}\frac{d}{dx}F(a)=0$
だから
$\frac{d}{dx}\int_a^x f(t)dt=\frac{d}{dx}\{F(x)-F(a)\}=f(x)$

右辺を $x$ で微分すると $2x-3$
ゆえに
$f(x)=2x-3$ …（答）

　定積分において，積分区間の下端と上端が等しいときは，被積分関数が何であっても積分は０になります．（これは公式です）
$\int_a^a f(x)dx=\{F(a)-F(a)\}=0$
したがって，
$\int_a^a f(t)dt=a^2-3a+ 2=0$
この２次方程式を因数分解によって解くと
$(a-1)(a-2)=0$
$a=1,\hspace{5}2$ …（答）

※このようにして求めた $a$ の値は必要条件（これ以外には解がないこと）ですが，十分性の証明は， $f(x)$ を用いて実際に積分してみると分かります．
$\int_a^x (2t-3)dt=\big[t^2-3t\big]=x^2-3x-(a^2-3a)$
ここで， $a=1,\hspace{5}2$ のとき， $a^2-3a=-2$ だから
$\int_a^x (2t-3)dt=\big[t^2-3t\big]=x^2-3x+ 2$
が成り立つ．ただ，教科書や参考書では，十分性の証明までは要しないと考えられているようです．

【問題２】　（選択肢の中から正しいものを１つクリック）

(1)

$\int_a^x f(t)dt=x^2-4x+ 3$ のとき，関数 $f(x)$ を求めてください．

解説やり直す

$f(x)=x^2-4x+ 3$ $f(x)=2x-4$

$f(x)=-x^2+ 4x-3$ $f(x)=-2x+ 4$

$\frac{d}{dx}\int_a^x f(t)dt=f(x)$
だから，原式の両辺を $x$ で微分すると
$f(x)=2x-4$ …（答）

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(2)

$\int_a^x f(t)dt=x^2-4x+ 3$ のとき，定数 $a$ の値を求めてください．

解説やり直す

$a=-1,\hspace{5}-4$ $a=1,\hspace{5}4$

$a=-1,\hspace{5}-3$ $a=1,\hspace{5}3$

$x$ に $a$ を代入すると
$\int_a^a f(t)dt=a^2-4a+ 3=0$
この２次方程式を因数分解によって解くと
$(a-1)(a-3)=0$
$a=1,\hspace{5}3$ …（答）

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(3)

$\int_1^x f(t)dt=x^2+ 2x+ a$ のとき，定数 $a$ の値を求めてください．

解説やり直す

$a=-1$ $a=1$ $a=-3$ $a=3$

$x$ に $1$ を代入すると
$\int_1^1 f(t)dt=1^2+ 2+ a=0$
$a=-3$ …（答）

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(4)

$\int_2^t f(x)dx=t^2-at+ 2$ のとき，定数 $a$ の値を求めてください．

解説やり直す

$a=2$ $a=3$ $a=-2$ $a=-3$

$t$ に $2$ を代入すると
$\int_2^2 f(x)dx=2^2-2a+ 2=0$

$a=3$ …（答）

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【例題１】

$f(x)=2x+ \int_0^2 f(t)dt$ のとき，関数 $f(x)$ を求めてください．

（解説）
下端と上端が定数である定積分は定数であるから
$\int_0^2 f(t)dt=k$ （ $k$ は定数）
とおける．
$f(x)=2x+ k$
として，右辺の積分を計算すると
$k=\int_0^2 (2t+ k)dt$
$=\big[t^2+ kt\big]_0^2=4+ 2k$
この方程式を解くと
$k=-4$

$f(x)=2x-4$ …（答）

【要点】
$\int_a^b f(t)dt$ は定数 $\rightarrow$ $\int_a^b f(t)dt=k$ とおける

$\rightarrow$ $f(x)$ の関数形が決まる

【問題３】　（選択肢の中から正しいものを１つクリック）

(1)

$f(x)=3x^2-1+\int_0^3 f(t)dt$ のとき，関数 $f(x)$ を求めてください．

解説やり直す

$f(x)=3x^2+ 1$ $f(x)=3x^2-13$

$f(x)=6x-12$ $f(x)=6x+ 1$

下端と上端が定数である定積分は定数であるから
$\int_0^3 f(t)dt=k$ （ $k$ は定数）
とおける．
$f(x)=3x^2-1+ k$
として，右辺の積分を計算すると
$k=\int_0^3 \{3t^2+ (k-1)\}dt$
$=\big[t^3+ (k-1)t\big]_0^3=27+ 3(k-1)$
$=3k+ 24$
この方程式を解くと
$k=-12$

$f(x)=3x^2-13$ …（答）

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(2)

$f(x)=-6x+ 2\int_{-1}^2 f(t)dt$ を満たす関数 $f(x)$ は， $f(x)=$ ウである．

（立教大2016年度入試問題）

解説やり直す

$f(x)=-3x^2+ 1$ $f(x)=-3x^2-9$

$f(x)=-6x+\frac{18}{5}$ $f(x)=-6x+\frac{9}{5}$

下端と上端が定数である定積分は定数であるから
$\int_{-1}^2 f(t)dt=k$ （ $k$ は定数）
とおける．
$f(x)=-6x+ 2k$
として，右辺の積分を計算すると
$k=\int_{-1}^2 (-6t+ 2k)dt$
$=\big[-3t^2+ 2kt\big]_{-1}^2$
$=(-12+ 4k)-(-3-2k)$
$=6k-9$
この方程式を解くと
$k=\frac{9}{5}$
$f(x)=-6x+ \frac{18}{5}$ …（答）

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(3)

$f(x)=x-\int_{0}^2 f(t)dt$ を満たす関数 $f(x)$ を求めてください．

解説やり直す

$f(x)=\frac{x^2}{2}-2$ $f(x)=\frac{x^2}{2}+ 2$

$f(x)=x+\frac{2}{3}$ $f(x)=x-\frac{2}{3}$

下端と上端が定数である定積分は定数であるから
$\int_{0}^2 f(t)dt=k$ （ $k$ は定数）
とおける．
$f(x)=x-k$
として，右辺の積分を計算すると
$k=\int_{0}^2 (t-k)dt$
$=\big[\frac{t^2}{2}-kt\big]_{0}^2$
$=2-2k$
この方程式を解くと
$k=\frac{2}{3}$
$f(x)=x-\frac{2}{3}$ …（答）

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(4)

$\int_0^xf(t)dt=x^2+ 2\int_{0}^1 xf(t)dt$ を満たす関数 $f(x)$ を求めてください．

解説やり直す

$f(x)=2x-2$ $f(x)=2x-1$

$f(x)=x^2-2$ $f(x)=x^2-1$

初めに，右辺の第2項で $x$ は積分変数 $t$ と無関係な定数なので，積分記号の前に出します．
$\int_0^xf(t)dt=x^2+ 2x\int_{0}^1 f(t)dt$
下端と上端が定数である定積分は定数であるから
$\int_{0}^1 f(t)dt=k$ （ $k$ は定数）
とおける．
両辺を $x$ で微分すると
$f(x)=2x+ 2k$
として，右辺の積分を計算すると
$k=\int_{0}^1 (2t+ 2k)dt$
$=\big[t^2+ 2kt\big]_{0}^1$
$=1+ 2k$
この方程式を解くと
$k=-1$
$f(x)=2x-2$ …（答）

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