数学Ⅱ・微分積分

体積

【高校数学の目次】《数学Ⅰ・Ａ》
• 数と式　 • 根号計算　• 場合の数.順列.組合せ　• 確率　 • ２次関数　• ２次不等式　 • 集合・命題・条件・証明　• 正弦定理,余弦定理
《数学Ⅱ・Ｂ》
• 指数関数.対数関数　 • 微分・積分　

《高校数学Ⅱ / 微分･積分の目次》　　　が現在地 • 平均変化率　 • 極限値，不定形の極限　 • 導関数の定義　 • 接線の方程式　 • 導関数の符号の求め方　 • 3次関数のグラフ（微分以前）　 • (問題)平均変化率，関数の極限，極限値から定数を求める問題　 • (問題)微分係数，導関数の定義　 • (問題)導関数の公式　 • (問題)増減と極値　 • (問題)最大最小,グラフと係数の符号,実数解の個数　 • センター試験.数Ⅱ微積(2013～)　 • 不定積分（数学II.多項式）　 • 不定積分2（展開）　 • 変数 t, y, r　 • 積分定数の決定　 • 定積分　 • 定積分の基本計算　 • 面積の求め方　 • 絶対値付きの定積分(1)　 • 絶対値付きの定積分(2)（数学Ⅱ，入試問題）　 • 曲線で囲まれた図形の面積　 • 立体の体積　 • 定積分で定義される関数　

♪♥ この教材は，高校数学の基本問題のうち，立体の体積の「マイナーチェンジありカバー版」「広告なし」「パソコン用」ページです．
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== 立体の体積 ==

（面積の復習）
　a≦x≦bの区間でx軸とy=f(x)とで囲まれる図形の面積が，縦の長さf(x)の積分で表された事情を振り返ってみます．
　aからxまでに描かれる図形の面積をS(x)とおくと
xがわずかに⊿xだけ増加したとき，増える面積は黄色で示した長方形の面積，すなわち縦の長さf(x)と横の長さ⊿xの積にほぼ等しくなります．
⊿S(x)≒f(x)⊿x
したがって
$\frac{\Delta S}{\Delta x}$ ≒f(x)
　増分⊿xを限りなく０に近づけると，その極限は近似値ではなく正確f(x)に等しいと見なせます．
$\frac{dS}{dx}=f(x)$
　元のものが直接には分からなくても，その微分が分かれば，積分によって面積S(x)が求まります．
$S(x)=\int f(x)dx$
　a≦x≦bの区間では
$S=\underset{\small{a}}{\int^b}f(x)dx$

面積を求めたいとき
⇒ 面積の微分 $S\apos(x)$ が縦の長さ $f(x)$ になるので $S$ は縦の長さの積分で求められる

（体積の計算）
　立体の体積を求めるには，体積の微分が断面積になることを利用します．
　すなわち，左端aから座標xまでの区間にある体積をxの関数としてV(x)で表し，xにおける断面積をS(x)とおきます．
　上で復習した面積の求め方と同様にして
⊿V(x)≒S(x)⊿x
$\frac{\Delta V}{\Delta x}$ ≒S(x)
$\frac{dV}{dx}=S(x)$
$V=\underset{\small{a}}{\int^b}S(x)dx$
が示されます．

体積を求めたいとき
⇒ 体積の微分 $V\apos(x)$ が断面積 $S(x)$ になるので $V$ は断面積の積分で求められる

※（注意）
　平行四辺形の面積は
（底辺）×（斜辺L）ではなく，
（底辺）×（高さh）になる．

　同様にして，体積の計算においても，「断面積と座標軸xとが『垂直』になっていなければなりません」．
　垂直でなければ，
⊿V(x)≒S(x)⊿xが成り立たたなくなり，上で述べた前提が崩れます．

【例１】
　底面の半径がrで高さがhである直円錐の体積を求めてください．

※この公式自体は小中学校で覚えますが，証明はこの例題のように積分を用いて示されます．

（解答）

右のように底面に垂直にx軸をとる．
底面積はS=πr2
座標xで切った断面積S(x)とSとは，相似図形でそれらの面積比は相似比x:hの２乗比になるから
S(x):πr2=x2:h2
$S(x)=\frac{\pi r^2x^2}{h^2}$
$V=\underset{\tiny{0}\hspace{5}}{\int^h}\frac{\pi r^2}{h^2}x^2dx=\Big[\frac{\pi r^2}{3h^2}x^3\Big]_0^h=\frac{\pi r^2}{3h^2}h^3$
$=\frac{1}{3}\pi r^2h$ …（答）

※右図のような三角帽子であっても，x軸に垂直な断面積が同じ円であれば，体積は同じになります．
ただし，座標軸を底面に垂直にとらなければなりません．

【例２】
　半径rの球の体積と表面積を求めてください．

（解答）

　右図のように，直径に沿ってx軸をとり,これに垂直な断面積をS(x)とおく．
　断面の半径は三平方の定理によって求められ
$\sqrt{r^2-x^2}$
したがって
$S(x)=\pi(\sqrt{r^2-x^2})^2=\pi(r^2-x^2)$
右半球の体積を求めて２倍するとよいから
$V=2\underset{\tiny{0}}{\int^r}\pi(r^2-x^2)dx=2\pi\Big[r^2x-\frac{x^3}{3}\Big]_0^r$
$=2\pi(r^3-\frac{r^3}{3})=\frac{4}{3}\pi r^3$ …（答）

　表面積を求めるにあたって，半径rの増える方向と垂直に（ミカンの皮のように）微小な体積 $\Delta V$ を考えると
$\Delta V=S(r)\Delta r$
$\frac{\Delta V}{\Delta r}=S(r)$
$\lim_{\Delta r\rightarrow 0}\frac{\Delta V}{\Delta r}=S(r)$
$\frac{dV}{dr}=S(r)$
となるから，体積を半径で微分したものが表面積になる．
$S=\frac{d}{dr}\Big(\frac{4}{3}\pi r^3\Big)=4\pi r^2$ …（答）

いきなり，半径r方向と言われても･･･

円の面積Sと円周の長さL=2πrの関係なら，
$L=\frac{d}{dr}\Big(\pi r^2\Big)=2\pi r$

$S=\underset{\tiny{0}}{\int^r} 2\pi xdx=\pi r^2$
も言えます.

【例３】
　放物線 $y=4-x^2$ とx軸とで囲まれる図形を
(1) x軸のまわりに１回転してできる回転体の体積を求めてください．
(2) y軸のまわりに１回転してできる回転体の体積を求めてください．

（解答）
$y=4-x^2$ とx軸との交点の座標は(−2, 0), (2, 0)，y軸との交点の座標は(0, 4)

(1) x軸のまわりに１回転するときは，y座標(>0)が半径となるから
$S(x)=\pi (4-x^2)^2$
左右対称だから，右半分の体積を求めて２倍する
$V_x=2\int_0^2 \pi(4-x^2)^2dx$
$=2\pi\int_0^2 (x^4-8x^2+ 16)dx$
$=2\pi\Big[\frac{x^5}{5}-\frac{8x^3}{3}+ 16x\Big]_0^2=\frac{512}{15}\pi$

(2) y軸のまわりに１回転するときは，x座標(>0)が半径となる
$y=4-x^2$
より
$x=\sqrt{4-y}\hspace{5}(\gt 0)$
$S(y)=\pi (\sqrt{4-y})^2=\pi (4-y)$
$V_y=\int_0^4 \pi(4-y)dy=\Big[\pi(4y-\frac{y^2}{2})\Big]_0^4=8\pi$

【要点】
(1) x軸のまわりの回転
$V=\int_a^b \pi y^2dx\hspace{10}\leftarrow y=f(x)$
(2) y軸のまわりの回転
$V=\int_{\alpha}^{\beta} \pi x^2dy\hspace{10}\leftarrow x=g(y)$

【問題１】　（選択肢の中から正しいものをクリック）

(1)
$y=x^2$ とx軸およびx=1の直線で囲まれる図形をx軸のまわりに１回転してできる回転体の体積を求めてください．

解説やり直す

$\frac{\pi}{2}$ $\frac{\pi}{3}$ $\frac{\pi}{4}$ $\frac{\pi}{5}$

$V=\int_0^1 \pi y^2dx=\int_0^1 \pi x^4dx$
$=\Big[\frac{\pi x^5}{5}\Big]_0^1=\frac{\pi}{5}$ …（答）

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(2)
$y=x^2$ とy軸およびy=1の直線で囲まれる図形をy軸のまわりに１回転してできる回転体の体積を求めてください．

解説やり直す

$\frac{\pi}{2}$ $\frac{\pi}{3}$ $\frac{\pi}{4}$ $\frac{\pi}{5}$

$V=\int_0^1 \pi x^2dy$
ここで， $y=x^2$ より $x=\sqrt{y}\hspace{5}(\gt 0)$ だから
$V=\int_0^1 \pi ydy=\Big[\frac{\pi y^2}{2}\Big]_0^1=\frac{\pi}{2}$ …（答）

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(3)
$y=x^2-2x$ とx軸とで囲まれる図形をx軸のまわりに１回転してできる回転体の体積を求めてください．

解説やり直す

$\frac{2}{3}\pi$ $\frac{3}{5}\pi$ $\frac{16}{15}\pi$ $\frac{31}{30}\pi$

x軸との交点の座標は(0, 0), (0, 2)
$V=\int_0^2 \pi (x^2-2x)^2dx=\int_0^2 \pi (x^4-4x^3+ 4x^2)dx$
$=\Big[\pi(\frac{x^5}{5}-x^4+\frac{4}{3}x^3)\Big]_0^2=\frac{16}{15}\pi$ …（答）

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(4)
　楕円 $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9}=1$ で囲まれる図形をy軸のまわりに１回転してできる回転体の体積を求めてください．

解説やり直す

$3\pi$ $4\pi$ $9\pi$ $16\pi$

　※現行教育課程で，数学Ⅱの積分を習う時点では楕円の方程式を習っていないようですが，グラフが描いてあるので問題を解く上で差支えないでしょう．
　y軸のまわりに１回転するのだから， $S=\pi x^2$ をyの関数として表しておきます．
$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9}=1$
より
$x^2=4(1-\frac{y^2}{9})$
$V=2\int_{0}^{3} \pi\times 4(1-\frac{y^2}{9})dy$
$=8\pi\Big[y-\frac{y^3}{27}\Big]_0^3=16\pi$ …（答）

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≪回転軸の両側に図形があるとき≫

【例４】
　 $y=x^2-1$ と $y=x+ 1$ とで囲まれる図形をx軸のまわりに１回転してできる回転体の体積を求めてください．

（解答）
　右図のように，x軸の両側に図形があるとき，この図形をx軸のまわりに１回転してできる図形では

　半周前にできた図形を，周回遅れの図形が消していくわけではない！
　権兵衛がまいた種を，カラスがほじくるわけではない！
⇒ １回でも通るところは全部合格という約束で考える
⇒ 図形を折り返して重ねたとき，「遠い方」（右図の赤線）が生き残る．
　ただし，図の青線のように空洞（ちくわような中抜きの空間）ができるときは，その体積を引く．

1) −1≦x≦0のとき， $V_1=\int_{-1}^0 \pi (x^2-1)^2dx=\hspace{3}\cdots\hspace{3}=\frac{8}{15}\pi$
2) 0≦x≦2のとき， $V_2=\int_{0}^2 \pi (x+ 1)^2dx=\hspace{3}\cdots\hspace{3}=\frac{26}{3}\pi$
3) 1≦x≦2のとき（空洞の部分） $V_3=\int_{1}^2 \pi (x^2-1)^2dx=\hspace{3}\cdots\hspace{3}=\frac{38}{15}\pi$
$V_1+ V_2-V_3=\frac{20}{3}\pi$ …（答）

【問題２】　（選択肢の中から正しいものをクリック）

(1)
$y=2-2x^2$ と $y=1-x^2$ で囲まれる図形をx軸のまわりに１回転してできる回転体の体積を求めてください．

解説やり直す

$\frac{8}{5}\pi$ $\frac{8}{15}\pi$ $\frac{16}{5}\pi$ $\frac{16}{15}\pi$

中空図形の引き算は
$\int (\pi r_1^2-\pi r_2^2)dx$
で求めます．これは，
$\int \pi (r_1-r_2)^2dx$
とは違うことに注意してください．
$V=2\pi\int_0^1 \{(2-2x^2)^2-(1-x^2)^2\}dx$
$V=2\pi\int_0^1 (3x^4-6x^2+ 3)dxdx$
$=2\pi\Big[\frac{3x^5}{5}-2x^3+ 3x\Big]_0^1=\frac{16}{5}\pi$ …（答）

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(2)
　円 $x^2+ y^2=4$ と $y=x$ で囲まれる図形（の上側の部分）をx軸のまわりに１回転してできる回転体の体積を求めてください．

解説やり直す

$\frac{4}{3}\pi\sqrt{2}$ $\frac{8}{3}\pi\sqrt{2}$ $\frac{4}{3}\pi(1+\sqrt{2})$ $\frac{8}{3}\pi(2+\sqrt{2})$

右図の赤で示した線が外側の線で，青で示した線が中抜きになる線です．
$x^2+ y^2=4$ と $y=x$ の交点のx座標は $\sqrt{2}\hspace{5}(\gt 0)$
$V=\pi\int_{-2}^{\sqrt{2}}(4-x^2)dx-\pi\int_0^{\sqrt{2}}x^2dx$
$=\pi\Big[4x-\frac{x^3}{3}\Big]_{-2}^{\sqrt{2}}-\pi\Big[\frac{x^3}{3}\Big]_0^{\sqrt{2}}$
$=\frac{8}{3}\pi(2+\sqrt{2})$ …（答）

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≪立体を回転するとき≫

【例５】
　半径が１，高さが１の直円柱を底面の直径のまわりに１回転してできる回転体の体積を求めてください．

（解答）
　すでに立体になっているものを回転させる場合，１つの断面だけから外側の輪郭が作られるとは限らないので，立体図形として最も遠い線を探す必要があります．
　右図において赤線で示したものが回転軸から最も遠くなり，結果は円柱よりも少し丸みを帯びた樽形になります．
　三平方の定理により
$r^2=1+ (\sqrt{1-x^2})^2=2-x^2$
$V=2\int_{0}^1 \pi (2-x^2)dx$
$=2\pi\Big[2x-\frac{x^3}{3}\Big]_0^1=\frac{10}{3}\pi$ …（答）

【問題３】　（選択肢の中から正しいものをクリック）

(1)
　底面の半径がr，高さがhの直円柱を，底面の１つの直径のまわりに１回転してできる立体の体積を $V_1$ とし，右図の水色で示した長方形を直径のまわりに回転してできる円柱の体積を $V_2=\pi h^2\times 2r$ とするとき， $V_1-V_2$ を求めてください．（すなわち，平面を回転させたときの円柱の体積よりもどれだけ増えるか）

解説やり直す

$2\pi r$ $\pi r^2$ $4\pi r^2$ $\frac{4}{3}\pi r^3$

例5と同様に，求める回転体の半径を $R$ とおいて計算すると
　三平方の定理により
$R^2=h^2+ (\sqrt{r^2-x^2})^2=h^2+ r^2-x^2$
$V_1=2\int_{0}^r \pi (h^2+ r^2-x^2)dx$
$=2\pi\Big[(h^2+ r^2)x-\frac{x^3}{3}\Big]_0^r=2\pi(h^2r+\frac{2}{3}r^3)$
$V_1-V_2=\frac{4}{3}\pi r^3$ …（答）
（※ちょうど半径rの球の体積だけ増える．これは，元の円柱が薄さ０のペラペラのときは，球そのものになるので直ちにわかります．長い円柱の場合は，通過距離が長くなる代わりに膨らみが薄くなって，結局同じ分量になるということのようです．）

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