数学Ⅱ・微分積分

【高校数学の目次】 《数学Ⅰ・Ａ》 • 数と式　 • 根号計算 　• 場合の数.順列.組合せ 　• 確率　 • ２次関数　• ２次不等式　 • 集合・命題・条件・証明 　• 正弦定理,余弦定理 《数学Ⅱ・Ｂ》 • 指数関数.対数関数　 • 微分・積分　 《高校数学Ⅱ / 微分･積分の目次》　　　 が現在地 • 平均変化率　 • 極限値，不定形の極限　 • 導関数の定義 　 • 接線の方程式　 • 導関数の符号の求め方　 • 3次関数のグラフ（微分以前） 　 • (問題)平均変化率，関数の極限，極限値から定数を求める問題 　 • (問題)微分係数，導関数の定義　 • (問題)導関数の公式　 • (問題)増減と極値　 • (問題)増減,極値,グラフ　 • (問題)最大最小,グラフと係数の符号,実数解の個数　 • センター試験.数Ⅱ微積(2013～)　 • 不定積分（数学II.多項式）　 • 不定積分2（展開）　 • 変数 t, y, r　 • 積分定数の決定　 • 定積分　 • 定積分の基本計算　 • 面積の求め方　 • 絶対値付きの定積分(1)　 • 絶対値付きの定積分(2)（数学Ⅱ，入試問題）　 • 曲線で囲まれた図形の面積　 • 立体の体積　 • 定積分で定義される関数　 ♪♥ この教材は，高校数学の基本問題のうち，増減,極値,グラフの「マイナーチェンジありカバー版」「広告なし」「パソコン用」ページです． ♫♣ 元の教材が通信トラブルなどで読めないときに，こちらを使ってください．なお，学習の記録は付いていません．

==微分,増減,極値,グラフ== ♣♥～教科書入門レベル/楽しいワーク～♠♪ 問題1　y=x3−3xの増減，極値を調べて，グラフを描いてください 導関数,増減表 • 導関数を求める y'=3x2−3 =3(x+1)(x−1) • 増減表を書く x ··· −1 ··· 1 ··· y' + 0 − 0 + y 2 −2 →解説を隠す← 増減を調べる x<−1, x>1で増加 −1<x<1で減少 「増減を調べよ」という問題に対して，左のように箇条書きで答えるのが正式であるが，増減表が書かれていればよいとすることも多い．（以下の問題も同様） →解説を隠す← 極値を求める • 極値を求める x=−1のとき，極大値2 x=1のとき，極小値−2 →解説を隠す← グラフを描く • x軸，y軸との交点 y軸との交点は，x=0を代入すれば求められるから，正確なグラフを描くために，求めた方がよい 　x=0のとき，y=0 x軸との交点は，3次方程式になるから，簡単に求まるときは，求めた方がよい（求まらないこともある） 　y=0のとき，x(x2−3)=0 　 • これらの点を滑らかに結んで，グラフを描く →解説を隠す←

問題2　y=2x3−3x2+1の増減，極値を調べて，グラフを描いてください 導関数,増減表 • 導関数を求める y'=6x2−6x =6x(x−1) • 増減表を書く x ··· 0 ··· 1 ··· y' + 0 − 0 + y 1 0 →解説を隠す← 増減を調べる x<0, x>1で増加 0<x<1で減少 →解説を隠す← 極値を求める • 極値を求める x=0のとき，極大値1 x=1のとき，極小値0 →解説を隠す← グラフを描く • x軸，y軸との交点 y軸との交点は，x=0を代入すれば求められるから，正確なグラフを描くために，求めた方がよい 　x=0のとき，y=0 x軸との交点は，3次方程式になるから，簡単に求まるときは，求めた方がよい（求まらないこともある） 　y=0のとき，2x3−3x2+1=0 因数定理を用いて因数分解する f(x)=2x3−3x2+1とおくと，f(1)=0 f(x)はx−1で割り切れる（実は上の増減表を見れば，(x−1)2で割り切れることも分かる） 割り算すると，f(x)=(x−1)2(2x+1) 　 • これらの点を滑らかに結んで，グラフを描く （必ずとは言えないが，x=−1 → y=−4, x=2 → y=5も求めておくと，グラフが書きやすい） →解説を隠す←

問題3　y=x3−x2−x+2の増減，極値を調べて，グラフを描いてください 導関数,増減表 • 導関数を求める y'=3x2−2x+1 =(3x+1)(x−1) • 増減表を書く x ··· ··· 1 ··· y' + 0 − 0 + y 1 →解説を隠す← 増減を調べる で増加 で減少 →解説を隠す← 極値を求める • 極値を求める のとき，極大値 x=1のとき，極小値1 →解説を隠す← グラフを描く • x軸，y軸との交点 y軸との交点は，x=0を代入すれば求められるから，正確なグラフを描くために，求めた方がよい 　x=0のとき，y=2 x軸との交点は，3次方程式になるから，簡単に求まるときは，求めた方がよい（求まらないこともある） 　この3次方程式は，簡単には因数分解できないから，x軸との交点は，求めないことにする • これらの点を滑らかに結んで，グラフを描く （必ずとは言えないが，x=−1 → y=1, x=2 → y=4も求めておくと，グラフが書きやすい） →解説を隠す←

問題4　y=−x3+3x2−2の増減，極値を調べて，グラフを描いてください 導関数,増減表 • 導関数を求める y'=−3x2+6x =−3x(x−2) • 増減表を書く x ··· 0 ··· 2 ··· y' − 0 + 0 − y −2 2 →解説を隠す← 増減を調べる 0<x<2で増加 x<0, 2<xで減少 →解説を隠す← 極値を求める • 極値を求める x=2のとき，極大値2 x=0のとき，極小値−2 →解説を隠す← グラフを描く • x軸，y軸との交点 y軸との交点は，x=0を代入すれば求められるから，正確なグラフを描くために，求めた方がよい 　増減表にある（x=0のとき，y=−2） x軸との交点は，3次方程式になるから，簡単に求まるときは，求めた方がよい（求まらないこともある） 　y=0のとき，x3−3x2+2=0 因数定理を用いて因数分解する f(x)=x3−3x2+2とおくと，f(1)=0 f(x)はx−1で割り切れる 割り算すると，f(x)=(x−1)(x2−2x−2) 　 →解説を隠す←

問題5　y=x3の増減，極値を調べて，グラフを描いてください 導関数,増減表 • 導関数を求める y'=3x2 • 増減表を書く x ··· 0 ··· y' + 0 + y 0 →解説を隠す← 増減を調べる 全区間で増加･･･（※下の参考1,2を読んでください） →解説を隠す← 極値を求める • 極値を求める 極値なし 増加から減少に「変化する」所を極大といい，減少から増加に「変化する」所を極小というので，増加から，中休み（y'=0）を経て再び増加になる場合は，増減の「変化はない」から極値ではない． →解説を隠す← グラフを描く • x軸，y軸との交点 y軸との交点は，x=0を代入すれば求められるから，正確なグラフを描くために，求めた方がよい 　増減表にある（x=0のとき，y=0） →解説を隠す←

問題6　の増減，極値を調べて，グラフを描いてください 導関数,増減表 • 導関数を求める y'=−x2+2x−1 =−(x−1)2 • 増減表を書く x ··· 1 ··· y' − 0 − y →解説を隠す← 増減を調べる 全区間で減少 →解説を隠す← 極値を求める • 極値を求める 極値なし 前問と同様，減少から中休み（y'=0）を経て再び減少になる場合は，増減の「変化はない」から極値ではない． →解説を隠す← グラフを描く • x軸，y軸との交点 y軸との交点は，x=0を代入すれば求められるから，正確なグラフを描くために，求めた方がよい 　x=0のとき，y=0 →解説を隠す←

［参考1］ 　「増減を調べよ」という問題に対して，次のどちらの形で答えてもよい．（どちらかが正しくて，どちらかが間違っているのではない） 開区間で答える 書き方 閉区間で答える 書き方（多数派） 問題1の答 x<−1, 1<xで増加 −1<x<1で減少 x≦−1, 1≦xで増加 −1≦x≦1で減少 問題2の答 x<0, 1<xで増加 0<x<1で減少 x≦0, 1≦xで増加 0≦x≦1で減少 数学Ⅱ 教科書の例 D社, T社 S社,K社,T社 • a<x<bのように端を含まない区間を開区間といい， 　a≦x≦bのように端を含む区間を閉区間という． • 数学Ⅱの段階で，踏み込んだ解説が書かれている教科書はないが，結論から言えば「開区間で増加であるならば，端の点を含めた閉区間で増加」「開区間で減少であるならば，端の点を含めた閉区間で減少」であるということがいえる． 　その証明は，数学Ⅲで習う「平均値の定理」でできる．（数学Ⅱではそこまで踏み込まない） • 教科書各社の「増加区間,減少区間」の書き方を数学ⅡⅢを通して見ると，「閉区間で書く答案が多数派」になっている． • 上記の問題1～4の解答も，閉区間で書くことができる（その方が多数派）．

［参考2］ 　「閉区間で書く答案」にすると，y=x3のグラフは，「x≦0, 0≦xで増加」すなわち「xの全区間で増加」と言えます． 　また，いつも弁当で見ている(?)，ご飯粒ごはんつぶの下の方の形（４次関数でf '(x)=0であるが，減少から減少への中休みになっている箇所）も含めて，右図の茶色で示した部分は減少区間です． • 「閉区間で書く答案」では，『境目の値（極大値，極小値となるxの値）』は，こうもり軍団のようなもので，けもの軍団（減少区間）にも鳥軍団（増加区間）にも入っていて『ずるい!』と考える生徒が多いが，実際には極大値，極小値のところは『増加でもあり，減少でもある』ことになります． 　また，y=x3のグラフでは，「x≦0で増加」「0≦xで増加」，結局「全区間で増加」となります．

問題7　の増減，極値を調べて，グラフを描いてください 導関数,増減表 • 導関数を求める y'=x3−x2−2x =(x+1)x(x−2) • 増減表を書く x ··· −1 ··· 0 ··· 2 ··· y' − 0 + 0 − 0 + y 0 →解説を隠す← 増減を調べる x≦−1, 0≦x≦2で減少 −1≦x≦0, 2≦xで増加 →解説を隠す← 極値を求める • 極値を求める x=−1で極小値 x=0で極大値0 x=2で極小値 →解説を隠す← グラフを描く • x軸，y軸との交点 y軸との交点は，x=0を代入すれば求められるから，正確なグラフを描くために，求めた方がよい 　x=0のとき，y=0 x軸との交点は，より 　x2(3x2−x−3)=0より 　≒−1.44, 2.77 →解説を隠す←

問題8　の増減，極値を調べて，グラフを描いてください 導関数,増減表 • 導関数を求める y'=x3−x2−x+1 =(x+1)(x−1)2 • 増減表を書く x ··· −1 ··· 1 ··· y' − 0 + 0 + y →解説を隠す← 増減を調べる x≦−1で減少 −1≦xで増加 →解説を隠す← 極値を求める • 極値を求める x=−1で極小値 極大値なし →解説を隠す← グラフを描く • x軸，y軸との交点 y軸との交点は，x=0を代入すれば求められるから，正確なグラフを描くために，求めた方がよい 　x=0のとき，y=0 x軸との交点は，原点以外は簡単に求められない(≒−1.5682) →解説を隠す←